Question

1．如圖所示，質量為m的月球探測器在圓形軌道Ⅰ上運動，在A點處進入橢圓軌道Ⅱ，在B點處再次變軌進入軌道Ⅲ繞月球做圓周運動，其中軌道Ⅲ的半徑可認為近似等于月球的半徑R，此時運行周期為T，變軌過程中探測器質量的變化忽略不計．已知軌道I半徑為2R，引力常量為G，下列說法正確的是（　　）

• A． 月球的密度為$\frac{3π}{GT}$
• B． 探測器在軌道I上運動的周期是在軌道Ⅱ上運動的周期的$\sqrt{\frac{27}{64}}$倍
• C． 探測器在軌道Ⅱ上運動時，B處速度大小是A處速度大小的3倍
• D． 探測器從軌道I運動到軌道Ⅲ，合外力對探測器做功為$\frac{m{R}^{2}{π}^{2}}{{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力求月球質量，再根據密度公式求密度；根據開普勒第三定律求探測器在軌道Ⅰ上運動的周期與軌道Ⅱ上周期之比；根據牛頓第二定律求出AB處的向心加速度之比，再由$a=\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$求出A、B處速度之比；根據動能定理求合外力對探測器做的功；

解答 解：A、探測器在軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得月球質量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故A錯誤；
B、橢圓軌道Ⅱ的長軸為3R，半長軸為$\frac{3}{2}R$，根據開普勒第三定律，有$\frac{{T}_{Ⅰ}^{2}}{{T}_{Ⅱ}^{2}}=\frac{（2R）_{\;}^{3}}{（\frac{3}{2}R）_{\;}^{3}}=\frac{64}{27}$，得$\frac{{T}_{Ⅰ}^{\;}}{{T}_{Ⅱ}^{\;}}=\sqrt{\frac{64}{27}}$，所以探測器在軌道Ⅰ上運動的周期是在軌道Ⅱ上運動的周期的$\sqrt{\frac{64}{27}}$倍，故B錯誤；
C、根據牛頓第二定律，$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，B處的向心加速度是A處的4倍，再根據$a=\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，因為橢圓的對稱性，所以AB兩點的曲率半徑相等，所以B處速度大小是A處速度大小的2倍，故C錯誤；
D、探測器圍繞地球做勻速圓周運動的線速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，在軌道I和軌道Ⅲ上的線速度之比，$\frac{{v}_{Ⅰ}^{\;}}{{v}_{Ⅲ}^{\;}}=\sqrt{\frac{R}{2R}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，在軌道Ⅲ線速度${v}_{Ⅲ}^{\;}=\frac{2πR}{T}$，在軌道Ⅰ上的線速度${v}_{Ⅰ}^{\;}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{2πR}{T}$，根據動能定理，合外力對探測器做功$W=\frac{1}{2}m{v}_{Ⅲ}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Ⅰ}^{2}$=$\frac{1}{2}m（\frac{2πR}{T}）_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{2πR}{T}）_{\;}^{2}$=$\frac{m{R}_{\;}^{2}{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$，故D正確；
故選：D

點評 解決本題的關鍵是掌握萬有引力定律的兩個重要理論：萬有引力提供向心力，并能靈活運用．