Question

在某星球表面附近，一根長為L的不可伸長的細繩，一端固定，另一端固定一質量為m的小球．小球在水平面內做圓錐擺運動，擺線與豎直方向的夾角為θ，周期為T．僅考慮物體受該星球的引力作用，忽略其他力的影響，已知該星球的半徑為R，若發射一顆在距該星球表面距離為R處繞該星球做勻速圓周運動的衛星．求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）這顆衛星的運行周期T₁．

Answer 1

分析：由題，小球在水平面做勻速圓周運動，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解重力加速度．
衛星繞該星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力求解衛星的運行周期．

解答：解：（1）由圖可知，小球圓周運動的半徑：r=Lcosθ
T=2π

r g

g=

4π2Lcosθ

T2

（2）衛星繞該星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力得：

GMm

(R+h)2

=

m?4π2(R+h)

T 2 1

，h=R

T₁=T

8R Lcosθ

答：（1）該星球表面的重力加速度是

4π2Lcosθ

T2

；
（2）這顆衛星的運行周期是T

8R Lcosθ

．

點評：本題是圓錐擺問題，關鍵是分析小球的受力情況，確定向心力的來源．注意小球圓周運動的半徑與擺長不同．
重力加速度g是聯系天體運動和星球表面物體的運動的橋梁．