Question

2．如圖所示電路中，電源電動勢E=12V，內阻r=1Ω，電阻R₁=9Ω，R₂=6Ω．滑動變阻器R₃的阻值變化范圍為0～20Ω，求：
（1）理想電流表示數為0.5A時，R₃接入電路的阻值；
（2）電源的總功率最大值；
（3）R₃能獲得的最大功率．

Answer 1

分析 首先明確電阻R₂和R₃并聯，再與R₁串聯，利用閉合電路的歐姆定律即可求解，利用P=IE分析即可求解電源最大功率；根據閉合電路歐姆定律以及功率公式求出R₃功率的表達式，結合數學知識求解最大值．

解答 解：（1）由電路圖得：U_并=I₂R₂=0.5×6V=3V
據閉合電路歐姆定律得：E=U_并+I（R₁+r） 
所以  I=$\frac{12-3}{9+1}$=0.9A
據分流規律得：I₃=I-I₂=0.9-0.5=0.4A  
所以 R₃=$\frac{{U}_{并}}{{I}_{3}}=\frac{3}{0.4}=7.5Ω$
（2）據P=IE得，要使P最大，必需使I最大，由閉合電路的歐姆定律得R最小，所以R₃的阻值為零時，其功率最大．
由閉合電路的歐姆定律得：$I′=\frac{E}{{R}_{1}+r}=\frac{12}{10}=1.2A$
所以P_max=I'E=1.2A×12V=14.4W
（3）設并聯部分的電阻為R，則R=$\frac{{R}_{2}{R}_{3}}{{R}_{2}+{R}_{3}}$=$\frac{6{R}_{3}}{6+{R}_{3}}$
并聯部分的電壓U=$\frac{R}{R+{R}_{1}+r}E=\frac{12R}{10+R}$，
則R₃的功率P=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{（\frac{12R}{10+R}）^{2}}{{R}_{3}}=\frac{144{R}^{2}}{（R+10）^{2}{R}_{3}}=\frac{144}{（1+\frac{100}{{R}^{2}}+\frac{20}{R}）{R}_{3}}$=$\frac{144}{\frac{100}{{R}_{3}}+\frac{64{R}_{3}}{9}+\frac{480}{9}}$
根據數學知識可知：$\frac{100}{{R}_{3}}+\frac{64{R}_{3}}{9}≥2\sqrt{\frac{100}{{R}_{3}}×\frac{64{R}_{3}}{9}}=\frac{160}{3}$，當$\frac{100}{{R}_{3}}=\frac{6{4R}_{3}}{9}$時，即R₃=3.75Ω，時取最小值$\frac{160}{3}$，
則R₃能獲得的最大功率為P=$\frac{144}{\frac{160}{3}+\frac{480}{9}}=1.35W$
答：（1）理想電流表示數為0.5A時，R₃接入電路的阻值為7.5Ω；
（2）電源的總功率最大值為14.4W；
（3）R₃能獲得的最大功率為1.35W．

點評 靈活應用閉合電路的歐姆定律是解題關鍵，會根據功率的表達式分析最值問題，能靈活應用串并聯電路的特點，難度適中．