Question

12．不計重力的帶正電粒子，質量為m，電荷量為q，以與y軸成60°角的速度v₀從y軸上的a點射入圖中第一象限所在區(qū)域．為了使該帶電粒子能從x軸上的b點以與x軸成60°角的速度射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋�垂直于xOy平面、磁感強度為B的勻強磁場．
（1）若此磁場垂直于紙面向外，僅分布在一個圓形區(qū)域內，試求這個圓形磁場區(qū)域的最小半徑．
（2）若此磁場垂直于紙面向內，僅分布在一個正三角形區(qū)域內，試求這個三角形磁場區(qū)域的最小邊長．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，應用牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，根據(jù)題意作出粒子運動軌跡，然后求出圓形磁場區(qū)域的半徑．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，應用牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，根據(jù)題意作出粒子運動軌跡，然后求出正三角形磁場區(qū)域的最小邊長．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
粒子運動軌跡如圖所示，最小磁場區(qū)域如圖所示（紅色圓），

由幾何知識得，磁場區(qū)域半徑：R=rsin45°=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2qB}$；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
粒子運動軌跡如圖所示，正三角形磁場區(qū)域如圖所示：

由幾何知識得，三角形的邊長：
L=2$\frac{r}{tan30°}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）這個圓形磁場區(qū)域的最小半徑為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2qB}$．
（2）這個三角形磁場區(qū)域的最小邊長為$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$．

點評 本題考查了粒子在有界磁場中的偏轉問題，考查了求有界磁場的最小半徑、邊長問題，根據(jù)題意作出粒子運動軌跡、確定磁場區(qū)域范圍是解題的關鍵；粒子在磁場中做勻速圓周運動洛倫茲力提供向心力，應用牛頓第二定律與幾何知識可以解題．