Question

【題目】如圖所示，直線MN上方有平行于紙面且與MN成45°的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小未知，MN下方存在方向垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。今從MN上的O點(diǎn)向磁場(chǎng)中射入一個(gè)速度大小為v、方向與MN成45°的帶正電粒子，該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑為R。若該粒子從O點(diǎn)出發(fā)記為第一次經(jīng)過(guò)直線MN，而第五次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí)恰好又通過(guò)O點(diǎn)。不計(jì)粒子的重力，求：

(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小

(2)該粒子再次(第五次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí))從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R′

(3)該粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)(第五次經(jīng)過(guò)直線MN時(shí))所需的時(shí)間t

Answer 1

【答案】（1）vB（2）（3）

【解析】

首先分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，先是一段半徑為R的圓弧到a點(diǎn)，接著恰好逆電場(chǎng)線勻減速運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)速度為零再返回a點(diǎn)速度仍為v，再在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段圓弧到c點(diǎn)，之后垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)作類平拋運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式及幾何關(guān)系即可解題．

粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖：

；

先是一段半徑為R的圓弧到a點(diǎn)，接著恰好逆電場(chǎng)線勻減速運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)速度為零再返回a點(diǎn)速度仍為v，再在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段圓弧到c點(diǎn)，之后垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)作類平拋運(yùn)動(dòng)。

易知：；

帶電粒子類平拋運(yùn)動(dòng)的垂直和平行電場(chǎng)方向的位移都為：

所以類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

又：

再者：

由可得：

即：電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為vB；

由平拋知識(shí)得：；

所以：；

則第五次過(guò)MN進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓弧半徑；

即：該粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后，運(yùn)動(dòng)軌道的半徑為；

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：

粒子在電場(chǎng)中的加速度為：；

粒子做直線運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間為：

由式求得粒子從出發(fā)到第五次到達(dá)O點(diǎn)所需時(shí)間：；

即：該粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間為 ．