Question

如圖（甲）所示為一種研究高能粒子相互作用的裝置，兩個直線加速器均由k個長度逐個增長的金屬圓筒組成（整個裝置處于真空中。圖中只畫出了6個圓筒，作為示意），它們沿中心軸線排列成一串，各個圓筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端。設金屬圓筒內部沒有電場，且每個圓筒間的縫隙寬度很小，帶電粒子穿過縫隙的時間可忽略不計。為達到最佳加速效果，應當調節至粒子穿過每個圓筒的時間恰為交流電的半個周期，粒子每次通過圓筒間縫隙時，都恰為交流電壓的峰值。
質量為m、電荷量為e的正、負電子分別經過直線加速器加速后，從左、右兩側被導入裝置送入位于水平面內的圓環形真空管道，且被導入的速度方向與圓環形管道中粗虛線相切。在管道內控制電子轉彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的A₁、A₂、A₃……A_n，共n個，均勻分布在整個圓周上（圖中只示意性地用細實線和細虛線了幾個），每個電磁鐵內的磁場都是磁感應強度和方向均相同的勻強磁場，磁場區域都是直徑為d的圓形。改變電磁鐵內電流的大小，就可改變磁場的磁感應強度，從而改變電子偏轉的角度。經過精確的調整，可使電子在環形管道中沿圖中粗虛線所示的軌跡運動，這時電子經過每個電磁鐵時射入點和射出點都在電磁鐵的一條直徑的兩端，如圖（乙）所示。這就為實現正、負電子的對撞作好了準備。
（1）若正電子進入第一個圓筒的開口時的速度為v₀，且此時第一、二兩個圓筒的電勢差為U，正電子進入第二個圓筒時的速率多大？
（2）正、負電子對撞時的速度多大？
（3）為使正電子進入圓形磁場時獲得最大動能，各個圓筒的長度應滿足什么條件？
（4）正電子通過一個圓形磁場所用的時間是多少？

Answer 1

（1）   （2）
（3） （N=1、2、3……k）
（4）

（1）設正電子進入第二個圓筒時的速率為v₁，根據動能定理
eU=
解得：v₁=
（2）正、負電子對撞時的動能等于進入第k個圓筒時的動能E_k，根據動能定理
(k-1)eU=
解得　　　
（3）設正電子進入第N個圓筒的速率為v_N-1，第N個圓筒的長度為L_N，則
L_N=v_N-1
由動能定理得
(N-1)eU=
解得：
第N個圓筒的長度應滿足的條件是：
 （N=1、2、3……k）
（4）設電子經過1個電磁鐵的圓形磁場區過程中偏轉角度為θ，則 
由圖可知，電子射入勻強磁場區時的速度與通過射入點的磁場直徑夾角為θ/ 2
電子在磁場區內作圓運動，洛侖茲力是向心力
        　　　
∴    
根據幾何關系  
解出 
設正電子通過一個圓形磁場所用的時間是t，則，
　　而
所以，