Question

發電機轉子是匝數n=100，邊長L=20cm的正方形線圈，其置于磁感應強度B=0.5T的勻強磁場中，繞著垂直磁場方向的軸以ω=100π（rad/s）的角速度轉動，當轉到線圈平面與磁場方向垂直時開始計時．線圈的電阻r=1Ω，外電路電阻R=99Ω．試求：
（1）寫出線圈中電流瞬時值的表達式；
（2）畫出從計時起一個周期內電流隨時間變化的i-t圖．
（3）外電阻上消耗的功率；
（4）從計時開始，線圈轉過

π

3

過程中，通過外電阻的電荷量是多少？

Answer 1

分析：（1）當從線圈平面與磁場方向垂直時開始計時，線圈中產生正弦式電流，感應電動勢的最大值E_m=nBωS=nBωL²，由歐姆定律可求得感應電流的最大值，電流瞬時值的表達式為i=I_msinωt．
（2）運用數學方法作出一個周期內電流隨時間變化的i-t圖．
（3）外電阻上消耗的功率為P=I²R，其中I是電流的有效值，I=

1

2

Im；
（4）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和q=

.

I

△t結合求出通過外電阻的電荷量．

解答：解：（1）感應電動勢的最大值為：E_m=nBωL²=200π=628（V）
根據閉合電路歐姆定律得：感應電動勢的最大值為 I_m=

Em

R+r

=2π（A）=6.28A
故交變電流瞬時值表達式：i=2πsin（100πt）（A）=6.28sin100πt（A）
（2）周期為T=

2π

ω

=

2π

100π

=0.02s，圖象如圖．
（3）電流的有效值I=

1

2

Im
由P=I²R得，外電阻上的消耗功率：P=（

1

2

Im）²R=198π²（W）=1.95×10³W
（4）從計時開始到線圈轉過

π

3

過程中，平均感應電動勢

.

E

=n

△Φ

△t

，得
  

.

E

=n

Φm-Φmcos60°

△t

=n?

BL2

2△t

平均電流：

.

I

=

. E

R+r

═

nBL2

2(R+r)

△t
通過外電阻的電荷量：q=

.

I

?△t=

nBL2

2(R+r)

=0.01C
答：
（1）線圈中電流瞬時值的表達式為i=6.28sin100πt（A）；
（2）畫出從計時起一個周期內電流隨時間變化的i-t圖如圖．
（3）外電阻上消耗的功率為1.95×10³W；
（4）從計時開始，線圈轉過

π

3

過程中，通過外電阻的電荷量是0.01C．

點評：本題考查了有關交流電描述的基礎知識，要能根據題意寫出瞬時值的表達式，知道有效值跟峰值的關系，難度不大，屬于基礎題．線框在勻強磁場中勻速轉動，產生正弦式交變電流．而對于電表讀數、求產生的熱量均由交變電的有效值來確定，而涉及到耐壓值時，則由最大值來確定．而通過某一電量時，則用平均值來求．