Question

（2009?廣州三模）如圖所示，間距為L，電阻不計的兩根平行金屬導軌MN、PQ（足夠長）被固定在同一水平面內，質量均為m，電阻均為R的兩根相同導體棒a、b垂直于導軌放在導軌上，一根輕繩繞過定滑輪后沿兩金屬導軌的中線與a棒連連，其下端懸掛一個質量為M的物體C，整個裝置放在方向豎直向上，磁感應強度大小為B的勻強磁場中，開始時使a、b、C都處于靜止狀態，現釋放C，經過時間t，C的速度為v₁，b的速度為v₂．不計一切摩擦，兩棒始終與導軌接觸良好，重力加速度為g，求：
（1）t時刻a棒兩端的電壓
（2）t時刻C的加速度值
（3）t時刻a、b與導軌所組成的閉合回路消耗的總電功率．

Answer 1

分析：（1）由法拉第定律、歐姆定律回路中感應電流I，a棒產生的電動勢：E_a=BLv₁，a棒兩端電壓為U=E_a-IR．
（2）由F=BIL求出棒a所受的安培力大小，根據牛頓第二定律分別研究棒a和C物體，可求解加速度．
（3）單位時間內，通過a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢能轉化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉化為b棒的動能．根據能量守恒求解閉合回路消耗的總電功率．

解答：解：（1）根據法拉第電磁感應定律，t時刻回路的感應電動勢 E=

△φ

△t

=BL(v1-v2)  ①
回路中感應電流：I=

E

2R

=

BL(v1-v2)

2R

  ②
a棒產生的電動勢：E_a=BLv₁ ③
a棒兩端電壓：U=E_a-IR  ④
聯立②③④解得：U=

BL(v1+v2)

2

（2）對a有，T-BIL=ma ⑤
對C有，Mg-T=Ma  ⑥
聯立②⑤⑥以上各式解得：a=

2MgR-B2L2(v1-v2)

2R(M+m)

（3）解法一：單位時間內，通過a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢能轉化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉化為b棒的動能，所以，t時刻閉合回路的電功率等于a棒克服安培力做功的功率，即 P=BILv₁⑦
聯立②⑦解得：P=

B2L2(v1-v2)v1

2R

解法二：a棒可等效為發電機，b棒等效為電動機，則  
A棒的感應電動勢為：E_a=BLv₁⑧
閉合回路消耗的總電功率為：P=IE_a…⑨
聯立②⑧⑨解得：P=BILv1=

B2L2(v1-v2)v1

2R

解法三：閉合回路消耗的熱功率為：P=I2?2R=

B2L2(v1-v2)2

2R

…⑩
B棒的機械功率為：P機=BILv2=

B2L2(v1-v2)v2

2R

…（11）
故閉合回路消耗的總電功率為：P=P熱+P機=

B2L2(v1-v2)v1

2R

答：
（1）t時刻a棒兩端的電壓是

BL(v1-v2)

2

．
（2）t時刻C的加速度值是

2MgR-B2L2(v1-v2)

2R(M+m)

．
（3）t時刻a、b與導軌所組成的閉合回路消耗的總電功率是

B2L2(v1-v2)v1

2R

．

點評：本題綜合考查了法拉第電磁感應定律以及電磁感應中的能量守恒．關鍵理清導體棒的運動情況，選擇合適的定律進行求解．