Question

如圖所示，一輕繩穿過光滑的定滑輪，兩端各拴一小物塊，它們的質量分別為m、M，已知M=3m，起始時m放在地上，M離地面高度為H=2.5m，繩子處于拉直狀態，然后由靜止釋放M，設物塊與地面相碰時完全沒有彈起（地面為水平沙地），繩不可伸長，繩中各處拉力均相同，在繩突然繃直提拉物塊時繩的速度與物塊相同，試求：

（1）M從釋放開始到第一次著地所用時間

（2）M第3次著地時系統損失的機械能與繩第3次繃直時系統損失的機械能之比

（3）M所走的全部路程（取三位有效數字）

Answer 1

（1）1s（2）△E₁：△E₂=4：1  （3）2.83m 

解析:

(1)從開始到M第一次著地，設著地速度為v₁的過程中，對系統：

由機械能守恒定律：MgH-mgH=(M+m)v₁²/2              ①……..（2分）

由動量定理得：    Mgt-mgt=(m+M)v₁                  ②……..（2分）

解得：            t=1s                              …………(1分)

(2)設第3次著地時的速度為v₃，此時系統損失的機械能△E₁即為M的動能

△E₁=Mv₃²/2                         ③……….(1分)

m上升后落回速度仍為v₃，繩繃直后達到共同速度v₃′，損失能量△E₂

繩繃直瞬間系統動量守恒，m的速度在M側等效向上，與M同向：

    m v₃=(m+M) v₃′                     ④……….(2分)

                △E₂=mv₃²/2-(m+M) v₃′²/2            ⑤………..(2分)

∴              △E₁：△E₂=4：1                     ………….(1分)

(3)設M第一次著地后被m帶著上升的高度為H₁，

                       m v₁=(m+M) v₁′                     ⑥……….(1分)

                       MgH₁-mgH₁=(M+m)v₁′²/2             ⑦……….(2分)

       解方程①⑥⑦可得                    ……….(2分)

       依此類推可得                       ……….(2分)

       M所走的全部路程為  l=H+2H₁+2H₁+…2H_n=2.83m          ……….(2分)