Question

投籃游戲是常見的娛樂項目，圖中即是投籃游戲的簡化示意圖．ABCDE為一固定于地面的籃筐，假設BCD為一半徑為R的光滑圓弧面，C為圓弧的最低點，BD的連接與水平地面平行，∠BOD=120°，AB與圓弧BCD相切于B點，DE與圓弧BCD相切于D點．一質量為m的小球（可視為質點）從某位置拋出，恰好沿AB進入軌道，已知AB、DE兩點間距離均為2R，小物快與AB、DE間的動摩擦因數均為

1

3

，重力加速度為g，已知小物塊第一次經過B點時的速度大小為

3gR

，求：
（1）小物塊第一次經過C點時對C點的壓力；
（2）足夠長時間后，小物塊在AB段和DE段經歷的總路程s．

Answer 1

分析：（1）從B到C，只有重力做功，由機械能守恒定律或動能定理求出小物塊運動到C點的速度大小，再由牛頓第二定律結合向心力公式可求出第一次經過C點時對C點的壓力；
（2）小物塊只有在AB與DE面上運動才有機械能損失，因此只有當小物塊到達B點或D點的速度為零時，將只會在BCD間來回往復運動，且永不停息．所以由動能定理可求出小物塊所經歷的總路程．

解答：解：（1）從B到C，根據機械能守恒定律有：
 

1

2

mv

2 B

+

1

2

mgR=

1

2

m

v

2 C

在C點，由牛頓第二定律有：
F_C-mg=m

v 2 C

R

解得：F_C=5mg
根據牛頓第三定律，物塊對C點的壓力為：F_C′=5mg
（2）由于

1

2

mv

2 B

＜mg?2Rsin60°+μmgcos60°?2R
即小球不會脫離籃筐，最終在BD間往復運動，從第一次到B點至最終的B點，根據動能定理，
-μmgcos60°?s=0-

1

2

m

v

2 B

解得：s=9R
答：（1）小物塊第一次經過C點時對C點的壓力5mg；
（2）足夠長時間后，小物塊在AB段和DE段經歷的總路程s為9R．

點評：考查動能定理，牛頓第二定律，向心力公式的應用，關鍵值得注意：只有當小物塊到達B點或D點速度為零時，才不會越上粗糙斜面．