Question

19．如圖所示，在寬度為L的條形區域內有勻強電場，電場的方向平行于區域邊界，一個帶電粒子從下邊界上的A點，以初速度v₀沿垂直于電場的AB方向射入電場，從上邊界的C點射出．已知粒子的重力不計，上邊界上BC間距離為$\frac{1}{4}$L．
（1）求粒子經過C點時的速度大小及速度方向與豎直方向的夾角的正切值．
（2）若帶電粒子的入射速度大小可以為任意值（遠小于光速），求帶電粒子從上邊界射出時速度的最小值．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中做類似平拋運動，水平分運動是勻加速直線運動，豎直分運動是勻速直線運動，根據分運動公式列式求解；
（2）根據分運動公式求解得到合速度的表達式進行分析即可．

解答 解：（1）粒子做類似平拋運動，以水平方向為x軸，豎直方向為y軸，將運動進行正交分解，水平分運動：$\frac{L}{4}={\frac{{v}_{x}}{2}}_{\;}t$，
豎直分運動：L=v₀t，
聯立解得：${v}_{x}=\frac{{v}_{0}}{2}$，
故合速度大小：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{0}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}{v}_{0}$，
合速度方向與豎直方向的夾角的正切值：tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}=\frac{1}{2}$；
（2）在上一問中，對水平分運動，有：${v}_{x}=at=\frac{qE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{2}$，故E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
粒子做類似平拋運動，豎直分運動：L=v₁t，
水平分運動：v_x=at=$\frac{qE}{m}t$，
故${v}_{x}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{v}_{1}}$，
合速度大小：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{4}}{4{v}_{1}^{2}}+{v}_{1}^{2}}$；
結合表達式知識，有：$\frac{v_0^4}{4v_1^2}+v_1^2≥2\sqrt{\frac{v_0^4}{4v_1^2}}•\sqrt{v_1^2}=v_0^2$（當$\frac{v_0^4}{4v_1^2}=v_1^2$，即${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}$時取等號）；
故當初速度${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}$時，合速度大小的最小值為v₀；
答：（1）粒子經過C點時的速度大小為$\frac{\sqrt{5}}{2}{v}_{0}$，速度方向與豎直方向的夾角的正切值為$\frac{1}{2}$．
（2）若帶電粒子的入射速度大小可以為任意值（遠小于光速），帶電粒子從上邊界射出時速度的最小值為v₀．

點評 本題考查粒子在偏轉電場中的運動，要采用正交分解法，結合分運動公式列式分析，第二問要結合數學不等式進行分析．