Question

13．如圖（a）所示，A是一個無線力傳感器，它上端所受拉力隨時間的變化可在計算機上直接呈現．一根細繩一端連在A的掛鉤上，另一端繞過兩個定滑輪與重物B相連，兩滑輪固定在離地高1.2m的橫梁上，滑輪間距為0.4m．開始時，B被一托盤托住，A被懸掛在空中，細繩的左、右兩段均豎直，突然撤去托盤，A、B分別在豎直方向由靜止開始運動，B落地后不再彈起．A、B均可視為質點，不計空氣阻力，不計滑輪軸的摩擦與滑輪的大小，重力加速度取g=10m/s²．

（1）某次操作得到的A受拉力F隨時間t變化的圖象如圖（b）所示，已知t₁=0.2s是撤去托盤的時刻，t₃時刻F突然開始急劇增大．求t₂=0.35s時力傳感器A的速度大小v和t₃；
（2）當A的質量為m、重物B的質量為M時，在A不碰到滑輪和橫梁的情況下，求A上升的距離與B下落距離的比值．
（3）若A的質量為0.2kg，選擇質量為0.6kg的重物B，為使A上升的距離最大且不會碰到定滑輪，求應選擇的細繩長度l和托盤的初始高度h．

Answer 1

分析 （1）由b圖讀出A的重力，求出其質量．A在t₂～t₃期間A做豎直上拋運動，先根據牛頓第二定律求出t₁～t₂期間的加速度，由速度公式求出t₂=0.35s時力傳感器A的速度大小v．再由豎直上拋的規律求出t₃．
（2）B落地前A、B組成的系統機械能守恒，B落地后A機械能守恒，由這兩個過程分別運用機械能守恒列式，即可求解．
（3）結合上題的結果，代入數據即可得解．

解答 解：（1）由b圖知，A的重力mg=F₁=1.0N，
解得：m=0.1kg                                     
t₁～t₂期間，根據牛頓第二定律得：
對A有：F₂-mg=ma₁，得：a₁=$\frac{{F}_{2}-mg}{m}$=$\frac{1.6-1.0}{0.1}$m/s²=6 m/s²                                     
t₂=0.35s時力傳感器A的速度大小為：v=a₁（t₂-t₁）=6×0.15 m/s=0.9m/s                                             
t₂～t₃期間A做豎直上拋運動，有：t₃-t₂=$\frac{2v}{g}$=2×$\frac{0.9}{10}$ s=0.18s                           
則得：t₃=0.53s                                                                    
（2）B落地前A、B組成的系統機械能守恒，有：Mgh-mgh=$\frac{1}{2}$（M+m）v²
B落地后A機械能守恒，有$\frac{1}{2}$mv²=mgh′
則A上升的距離與B下落距離的比值為：$\frac{h’+h}{h}$=$\frac{2M}{M+m}$                               
（3）A上升的距離最大為1.2m，設托盤高度為h，則有 $\frac{2M}{M+m}$h=1.2m                 
將m=0.2kg、M=0.6kg代入上式，
可求出h=0.8m                                                             
繩長 l=（2×1.2+0.4-0.8）m=2.0 m                                              
答：（1）t₂=0.35s時力傳感器A的速度大小v是0.9m/s，t₃是0.53s．     
（2）A上升的距離與B下落距離的比值為$\frac{2M}{M+m}$ 
（3）應選擇的細繩長度l是2.0m，托盤的初始高度h是0.8m．

點評 解決本題的關鍵要讀圖象，把握圖中有效信息，分析出兩個物體的運動情況，再由動力學方法和機械能守恒定律結合處理．