Question

20．如圖所示，小物塊A、B由跨過定滑輪的輕繩相連，A置于傾角為37°的光滑固定斜面上，B位于水平傳送帶的左端，輕繩分別與斜面、傳送帶平行，傳送帶始終以速度為v₀=2m/s向右勻速運動，在t=0時刻B從傳送帶左端以速度v₁=6m/s向右運動，經過一段時間回到傳送帶的左端，已知A、B質量均為m=1.0kg，B與傳送帶間的動摩擦因素為μ=0.2，斜面、輕繩、傳送帶均足夠長，A不會碰到定滑輪，定滑輪的質量與摩擦力均不計，g取10m/s²，sin37°=0.6，求：

（1）在t=0時刻小物塊B的加速度大小和方向；
（2）作出小物塊B在傳送帶上運動的速度時間圖象，以向右的方向為速度的正方向，要求準確標出B速度為零時的時間值和B回到傳送帶左端時的速度值和時間，（不要求寫出計算過程）

Answer 1

分析 （1）對A、B分別運用牛頓第二定律求加速度的大小和方向；
（2）分析B的運動過程，根據速度時間關系和位移時間關系求出各個過程的時間和位移；

解答 解：（1）t=0時，根據牛頓第二定律，對B有：T₁+μmg=ma₁①
對A：mgsin37°-T₁=ma₁②
聯立①②得：${a}_{1}^{\;}=4m/{s}_{\;}^{2}$
T₁=2N
即在t=0時刻小物塊B的加速度大小$4m/{s}_{\;}^{2}$，方向水平向左
（2）設小物塊經時間${t}_{1}^{\;}$速度相等，${v}_{1}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}$
解得：${t}_{1}^{\;}=1s$
第1s內小物塊的位移${x}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=4m$
1s后小物塊繼續向右勻減速運動，設加速度為${a}_{2}^{\;}$，由牛頓第二定律得：
對A：mgsin37°-T₂=ma₂③
對B：T₂-μmg=ma₂④
聯立③④得：a₂=2$m/{s}_{\;}^{2}$
${T}_{2}^{\;}=4N$
設經${t}_{2}^{\;}$速度減為0，${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{2}{2}s=1s$
第2s內位移${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{2}{2}×1=1m$
小物塊速度減為0后，反向做勻加速直線運動，對系統由牛頓第二定律得：
$mgsin37°-μmg=2m{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{3}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$
經時間${t}_{3}^{\;}$回到傳送帶的左端：${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{2}$
代入數據解得：${t}_{3}^{\;}=\sqrt{5}s$
B回到傳送帶左端時的速度值${v}_{3}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{\;}=2\sqrt{5}m/s$
小物塊在傳送帶上運動的速度時間圖象，如圖所示

答：（1）在t=0時刻小物塊B的加速度大小$4m/{s}_{\;}^{2}$和方向水平向左；
（2）小物塊B在傳送帶上運動的速度時間圖象如上圖所示

點評 該題中，開始時物體的速度大于傳送帶的速度，減速后的速度小于傳送帶的速度，所以傳送帶大于物體 摩擦力的方向是不同的，則 物體的加速度會發生變化．這是題目中第一處容易錯誤的地方．開始時物體的速度大于傳送帶的速度，減速后的速度小于傳送帶的速度，所以開始時物體相對于傳送帶向右運動，之后物體相對于傳送帶向左運動，在計算產生的內能的過程中，一定要分段計算，若合在一起，則計算的結果就錯了．這是第二處容易錯誤的地方．要細心．