Question

（2011?廣東）如圖（a）所示，在以O為圓心，內外半徑分別為R₁和R₂的圓環(huán)區(qū)域內，存在輻射狀電場和垂直紙面的勻強磁場，內外圓間的電勢差U為常量，R₁=R₀，R₂=3R₀，一電荷量為+q，質量為m的粒子從內圓上的A點進入該區(qū)域，不計重力．
（1）已知粒子從外圓上以速度v₁射出，求粒子在A點的初速度v₀的大小；
（2）若撤去電場，如圖（b），已知粒子從OA延長線與外圓的交點C以速度v₂射出，方向與OA延長線成45°角，求磁感應強度的大小及粒子在磁場中運動的時間；
（3）在圖（b）中，若粒子從A點進入磁場，速度大小為v₃，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應強度應小于多少？

Answer 1

分析：帶電粒子在電場與磁場中，只有電場力對粒子做功，所以由動能定理可求出初速度．由于粒子從OA延長線與外圓的交點C以速度v₂射出，則入射點與出射點連續(xù)是弦，因此弦的中垂線與射出速度的垂線交點即為軌道的圓心．從而由幾何關系可求出磁感應強度大小及運動的時間．若粒子從A點進入磁場，速度大小一定，方向不定，要使粒子一定能夠從外圓射出，粒子在磁場內的運動半徑應大于過A點的最大內切圓半徑，所以由軌道半徑從而求出最小磁感應強度．

解答： 解：（1）電、磁場都存在時，只有電場力對帶電粒子做功，由動能定理
qU=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

①
得v0=

v 2 1 - 2qU m

②
（2）由牛頓第二定律       qBv=m

v2

r

③
如圖1，由幾何關系粒子運動軌跡的圓心O′和半徑R
則有：R²+R²=（R₂-R₁）²④
聯(lián)立③④得磁感應強度大小B=

2 mv2

2qR0

⑤
粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T=

2πR

v2

⑥
由幾何關系確定粒子在磁場中運動的時間t=

1

4

T⑦
由④⑥⑦式，得  t=

2 πR0

2v2

⑧
（3）如圖2，為使粒子射出，則粒子在磁場內的運動半徑應大于過A點的最大內切圓半徑，該半徑為     
  Rc=

R2+R1

2

⑨
由③⑨，得磁感應強度應小于Bc=

mv3

2qR0

點評：解決粒子做勻速圓周運動的步驟：定圓心、畫圓弧、求半徑．同時若粒子從A點進入磁場，速度大小一定而方向不定，要使粒子一定能夠從外圓射出，求磁感應強度應最大值，則粒子在磁場內的運動半徑應大于過A點的最小內切圓半徑．