Question

7．將一質量為m的可視為質點的小球用一長為l的細繩拴接，細繩的另一端固定在天花板上的O點，在O點右下方的A位置釘一光滑的釘子，已知AO兩點的高度差為$\frac{l}{2}$．現將小球從圖示位置無初速度釋放，此位置與O點等高且此時細繩剛好繃緊，當細繩與A點的釘子相碰后，小球將在豎直面內繞釘子做圓周運動．不計細繩與釘子碰撞時的機械能損失．
（1）如果A點到過O點豎直線的距離為$\frac{\sqrt{5}}{4}$l時，小球剛好運動到最低點時細繩斷裂，則細繩能承受的最大拉力與重力的比值是多少？
（2）為保證細繩在不斷裂的情況下，小球能在豎直面內做完整的圓周運動，則A點到O點豎直線的距離范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）根據幾何知識求出小球繞釘子做圓周運動的半徑，由機械能守恒定律求出小球運動到最低點時的速度，再由牛頓第二定律和向心力公式求解細繩能承受的最大拉力與重力的比值．
（2）小球恰好做完整的圓周運動時，在圓周的最高點由重力提供向心力，由此列式，結合機械能守恒定律求出A點到O點豎直線的距離最大值．當細繩剛要斷裂時，在最低點拉力達到最大值，由牛頓第二定律和機械能守恒定律求出A點到O點豎直線的距離最小值，從而得到A點到O點豎直線的距離范圍．

解答 解：（1）設小球繞釘子做圓周運動的半徑為r．根據幾何知識得：
r=l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{4}l）^{2}}$=$\frac{1}{4}$l
小球從開始到運動到最低點的過程，由機械能守恒定律得：
mg（r+$\frac{l}{2}$）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在最低點，由牛頓第二定律得：
T_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
聯立解得：細繩能承受的最大拉力與重力之比 $\frac{{T}_{m}}{mg}$=7
（2）設小球恰好做完整的圓周運動時，A點到O點豎直線的距離為s₁．在圓周的最高點由重力提供向心力，則有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l-\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{1}^{2}}}$
從開始到圓周的最高點，由機械能守恒定律得：
mg{$\frac{l}{2}$-[l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{1}^{2}}$]}=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯立解得：s₁=$\frac{\sqrt{7}}{6}$l
設小球在最低點細繩剛要斷裂時，A點到O點豎直線的距離為s₂．在最低點，由牛頓第二定律得：
T_m-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{l-\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{2}^{2}}}$
從開始到圓周的最低點，由機械能守恒定律得：
mg{$\frac{l}{2}$+[l-$\sqrt{（\frac{l}{2}）^{2}+{s}_{2}^{2}}$]}=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯立解得：s₂=$\frac{\sqrt{5}}{4}$l
所以A點到O點豎直線的距離范圍是：$\frac{\sqrt{7}}{6}$l≤s＜$\frac{\sqrt{5}}{4}$l
答：（1）細繩能承受的最大拉力與重力的比值是7．
（2）A點到O點豎直線的距離范圍是 $\frac{\sqrt{7}}{6}$l≤s＜$\frac{\sqrt{5}}{4}$l．

點評 對于圓周運動動力學問題，關鍵是分析受力情況，尋找向心力的來源，找出隱含的臨界條件．