Question

如圖所示，O為豎直平面內

1

4

圓弧軌道的圓心，B點的切線剛好沿水平方向．一個質量為m的滑塊（可視為質點）從A點由靜止開始滑下，最終落到地面上的C點．已知A點離地面的高度為h，圓弧軌道的半徑為R，重力加速度為g．不計一切摩擦．求：
（1）滑塊經B點時的速度大小；
（2）滑塊經B點時對軌道的壓力；
（3）在保證A點位置不變的情況下，改變圓弧軌道
的半徑（總小于h），再讓滑塊從A點由靜止滑下，A點到滑塊落地點的水平距離最大是多少？此時圓弧軌道的半徑是多大？

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律球場滑塊經過B點時的速度大小．
（2）根據牛頓第二定律求出滑塊在B點所受的支持力的大小，從而求出滑塊對軌道的壓力大小．
（3）根據機械能守恒定律求出B點的速度，通過平拋運動的規律求出水平位移的表達式，從而得出A點到滑塊落地點的水平距離的表達式，根據數學函數方法求解最值．

解答：解：（1）滑塊從A到B的過程中，由機械能守恒得mgR=

1

2

m

v

2 B

解得   vB=

2gR

（2）滑塊經B點時，由向心力公式有N-mg=m

v 2 B

R

解得   N=3mg                                                  
由牛頓第三定律知，滑塊經B點時對軌道的壓力大小為3mg，方向豎直向下．
（3）設軌道半徑為r，滑塊從B點開始做平拋運動，需時間t落地，則h-r=

1

2

gt2
平拋的水平距離   x_BC=v_Bt
聯立解得A、C兩點的水平距離為    xAC=r+xBC=r+2

r(h-r)

令r=hsin²θ，則AC兩點的水平距離為xAC=h(sin2θ+2sinθcosθ)=h(

1-cos2θ

2

+sin2θ)=

h

2

(1-cos2θ+2sin2θ)
令tanφ=

1

2

，則xAC=

h

2

[1+

5

sin(2θ-φ)]，
顯然當θ=

π

4

+

φ

2

時，x_AC有最大值為xm=

5 +1

2

h
此時  r=hsin2θ=h

1-cos( π 2 +φ)

2

=

1+sinφ

2

h=

5+ 5

10

h
答：（1）滑塊經B點時的速度大小為vB=

2gR

．
（2）滑塊經B點時對軌道的壓力為3mg．
（3）A點到滑塊落地點的水平距離最大是xm=

5 +1

2

h，此時圓弧軌道的半徑是r=

5+ 5

10

h．

點評：本題考查了機械能守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強，第三問對數學能力的要求較高．