Question

6．某星球的質量約為地球的8倍，半徑約為地球的2倍，地球表面重力加速度g=10m/s²，忽略星體自轉．
求：（1）該星球表面的重力加速度g′；
（2）該星球的第一宇宙速度v′與地球的第一宇宙速度v的比值．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力等于重力，結合地球和星球的質量關系、半徑關系求出星球表面的重力加速度．
（2）根據萬有引力提供向心力，結合質量、半徑關系求出星球的第一宇宙速度v′與地球的第一宇宙速度v的比值．

解答 解：（1）設地球的質量為M，半徑為R．
物體在星體表面所受的萬有引力等于重力，則：
在地球表面有   G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，得 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
同理得 在星球表面有 g′=$\frac{G•8M}{（2R）^{2}}$=$\frac{2GM}{{R}^{2}}$
所以得 g′=2g=20m/s²．
（2）由萬有引力提供近地衛星的向心力，得：
   G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得，地球的第一宇宙速度 v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
同理得，星球的第一宇宙速度 v′=$\sqrt{\frac{G•8M}{2R}}$=2$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
所以 $\frac{v′}{v}$=$\frac{2}{1}$
答：
（1）該星球表面的重力加速度g′是20m/s²；
（2）該星球的第一宇宙速度v′與地球的第一宇宙速度v的比值是2．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要思路：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．