Question

隨著我國“神舟五號”宇宙飛船的發射和回收成功．標志著我國的航天技術已達到世界先進水平．如圖所示，質量為m的飛船繞地球在圓軌道Ⅰ上運行時，半徑為r₁，要進入半徑為r₂的更高的圓軌道Ⅱ，必須先加速進入一個橢圓軌道Ⅲ，然后再進入圓軌道Ⅱ．已知飛船在圓軌道Ⅱ上運動速度大小為υ，在A點通過發動機向后以速度大小為u（對地）噴出一定質量氣體，使飛船速度增加到v′進入橢圓軌道Ⅲ．（已知量為：m、r₁、r₂、υ、v′u）求：
（1）飛船在軌道I上的速度和加速度大小．
（2）發動機噴出氣體的質量△m．

Answer 1

分析：（1）飛船在軌道I和Ⅱ上的向心力由萬有引力提供，對兩個軌道分別根據牛頓第二定律列式，運用比例法求速度和加速度．
（2）根據動量守恒定律mυ₁=（m-△m）υ′-△mu求出探測器在A點噴出的氣體質量△m．

解答：解：（1）在軌道I上，有G

Mm

r12

=m

v12

r1

 解得：v1=

GM r1

同理在軌道Ⅱ上 v =

GM r2

 由此得：v1=v

r2 r1

在軌道I上向心加速度為a₁，則有：G

Mm

r12

=ma1
同理在軌道II上向心加速度a=

v2

r2

，則有：G

Mm

r22

=m

v2

r2

由此得：a1=

r2

r12

v2
（2）設噴出氣體的質量為△m，由動量守恒得mv₁=（m-△m）v′-△mu      
得：△m=

v′-v r2 r1

v′+u

m
答：
（1）飛船在軌道I上的速度為v

r2 r1

，加速度是

r2

r 2 1

v2．
（2）發動機噴出氣體的質量△m為

v′-v r2 r1

v′+u

m．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

=ma，以及掌握動量守恒定律．