Question

10．如圖所示，相距2L的AB、CD兩直線間的區域存在著兩個大小不同、方向相反的有界勻強電場，其中PT上方的電場E₁的場強方向豎直向下，PT下方的電場E₀的場強方向豎直向上，在電場左邊界AB上寬為L的PQ區域內，連續分布著電量為+q、質量為m的粒子．從某時刻起由Q到P點間的帶電粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入勻強電場E₀中，若從Q點射入的粒子，通過PT上的某點R進入勻強電場E₁后從CD邊上的M點水平射出，其軌跡如圖，若MT兩點的距離為$\frac{L}{2}$．不計粒子的重力及它們間的相互作用．試求：
（1）電場強度E₀與E₁；
（2）在PQ間還有許多水平射入電場的粒子通過電場后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點到P點的距離有什么規律？

Answer 1

分析 （1）粒子在兩電場中做類平拋運動，由圖可得出粒子在兩電場中的運動情況；分別沿電場方向和垂直電場方向列出物理規律，聯立可解得電場強度的大��；
（2）粒子進入電場做類平拋運動，根據運動的合成與分解，結合運動學公式分析答題．

解答 解：（1）設粒子經PT直線上的點R由E₀電場進入E₁電場，由Q到R及R到M點的時間分別為t₁與t₂，到達R時豎直速度為v_y，則：
由牛頓第二定律得：F=qE=ma，
由勻變速直線運動的位移公式：s=$\frac{1}{2}$at²與勻變速直線運動的速度公式：v=at可得：
解得：L=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}$×$\frac{q{E}_{0}}{m}$×t₁²…①
而 $\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₂²…②
速度關系：v_y=$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₁=$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₂…③
v₀（t₁+t₂）=2L…④
上述四式聯立解得：E₁=2E₀，E₀=$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{8qL}$，E₁=$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{4qL}$；
（2）由E₁=2E₀及③式可得：t₁=2t₂．
因沿PT方向粒子做勻速運動，故P、R兩點間的距離是R、T兩點間距離的兩倍．即粒子在E₀電場做類平拋運動在PT方向的位移是在E₁電場中的兩倍．
設PQ間到P點距離為△y的F處射出的粒子通過電場后也沿水平方向，若粒子第一次達PT直線用時△t，水平位移為△x，則△x=v₀△t
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（△t）²
粒子在電場E₁中可能做類平拋運動后，垂直CD邊射出電場，也可能做類斜拋運動后返回E₀電場，在E₀電場中做類平拋運動垂直CD水平射出，或在E₀電場中做類斜拋運動再返回E₁電場，若粒子從E₁電場垂直CD射出電場，則有：
（2n+1）△x+$\frac{△x}{2}$=2L （n=0、1、2、3、…）
解之得：
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$[$\frac{4L}{3（2n+1）{v}_{0}}$]²=$\frac{L}{（2n+1）^{2}}$ （n=0、1、2、3、…）
若粒子從E₀電場垂直CD射出電場，則有：
3k△x=2L（k=1、2、3、…）
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{2L}{3k{v}_{0}}$）²=$\frac{L}{4{k}^{2}}$（k=1、2、3、…）
即PF間的距離為：$\frac{L}{（2n+1）^{2}}$與$\frac{L}{4{k}^{2}}$ 其中（n=0、1、2、3、…，k=1、2、3、…）
或 2n$\frac{3△x}{2}$=2L （n=1、2、3、…）
解之得：△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
則PF間距為$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
答：（1）電場強度E₀與E₁分別為：$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{8qL}$、$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{4qL}$；
（2）在PQ間還有許多水平射入電場的粒子通過電場后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點到P點的距離為：$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）．

點評 本題考查了帶電粒子在電場中的運動，帶電粒子在電場中做類平拋運動，分析清楚粒子運動過程是解題的前提與關鍵，應用牛頓第二定律與運動學公式可以解題，由于粒子運動過程復雜，本題難度較大．