Question

如圖所示，在xoy平面內x＞0處有一半圓形勻強磁場，磁場區域圓心為O，半徑為R=0.10m，磁感應強度大小為B=0.5T，磁場方向垂直xoy平面向里．有一線狀粒子源放在y軸左側（圖中未畫出），不斷沿平行于x軸正方向放出電荷量為q=+1.6×10^-19C、初速度為v=1.6×10⁶m/s的粒子，粒子的質量為m=1.0×10^-26kg，不考慮粒子間的相互作用，粒子重力忽略不計．求：
（1）從O點入射的粒子離開磁場區域的y軸坐標；
（2）從y軸任意位置（0，y）入射的粒子在離開磁場時的速度方向與正x軸夾角的余弦值；
（3）這些粒子在該磁場中運動的最長時間，并指出該粒子入射時的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）粒子在磁場中做圓周運動，根據粒子的運動軌跡和幾何關系可以求得粒子設出時的位置的坐標；
（2）從任意位置進入磁場時，根據粒子的運動畫出粒子的運動的軌跡，再由三角形得關系可以求得速度方向；
（3）粒子在磁場中運動的圓心角越的，粒子在磁場中運動的時間就越長，根據粒子的運動的軌跡的關系，可以求得粒子的運動最長時間的位置．
解答：解：
（1）粒子在磁場中的運動滿足
qvB=m
可得粒子的運動的半徑為r==0.2m
當粒子從O點入射時，畫出粒子的運動軌跡圓弧OP，設P點坐標為（x_p，y_p），則OQ=y_p，
故O′Q=r-y_p，
由直角三角形△O′PQ關系可得：
x+=r²
P點坐標同時滿足+=R²
聯立可得 y_p=，
代入數據得y_p=0.025m
（2）如右圖，粒子從C點入射，畫出其在磁場中運動的軌跡，交與磁場邊界D點，并畫出其運動軌跡的圓心O，
設弧CD所對圓心為θ，過D點做x軸的平行線交y軸與E點，連接OD，
則OO′=r+y
由直角三角形△O′ED得，O′E=rcosθ，DE=rsinθ
則OE=O′O-O′E=r+y-rcosθ
在直角三角形△OED內，有OE²+DE²=OD²
代入得 （r+y-rcos）²+（rsinθ）²=R²
可求得 cosθ=，
代入數據得 cosθ=，
（3）由 cosθ=，
變式得：cosθ=+，
這說明當=時，cosθ具有最小值，θ具有最大值．
代入數據得y=0.1-0.2≈-0.027
即入射點在x軸下方做標為（0，-0.027）處
此時cosθ=0.5
即θ=
由周期公式T=
得t_m==π×10^-7s≈2.1×10^-7s．
點評：電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動，關鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．定圓心角，求時間．