Question

如圖所示，ABCDEF是一邊長為L的正六邊形盒，各邊均為絕緣板，盒外有方向垂直紙面向里、范圍足夠大的勻強磁場，磁感應強度大小為B．在盒內有兩個與AF邊平行的金屬板M、N，且金屬板N靠近盒子的中心O點，金屬板M和盒子AF邊的中點均開有小孔，兩小孔與O點在同一直線上．現在O點靜止放置一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計粒子的重力）．
（1）如果在金屬板N、M間加上電壓U_NM=U₀時，粒子從AF邊小孔射出后直接打在A點，試求電壓U₀的大小．
（2）如果改變金屬板N、M間所加電壓，試判斷粒子從AF邊小孔射出后能否直接打在C點．若不能，說明理由；若能，請求出此時電壓U_NM的大小．
（3）如果給金屬板N、M間加一合適的電壓，粒子從AF邊小孔射出后恰好能以最短時間回到該小孔（粒子打在盒子各邊時都不損失動能），試求最短時間．

Answer 1

（1）依題意，R=

L

4

，
由qvB=m

v2

R

，
及qU₀=

1

2

mv02，
解得U₀=

qB2L2

32m

（2）設AF中點為G，連接GC，作其垂直平分線，與AF延長線交點即為圓心
由相似三角形得R′=O′G=

13L

4

，
由牛頓第二定律，qvB=

mv2

R′

，
∵qU₀=

1

2

mv02，
∴U_NM=

169qB2L2

32m

（3）由于粒子在磁場中運動周期T=

2πm

qB

，T與速率無關粒子撞擊BC中點和DE中點后回到G，
用時最短圓周半徑R″=

3

2

L，
得到最短時間t=

300

360

T×3=

5πm

qB

答：（1）如果在金屬板N、M間加上電壓U_NM=U₀時，粒子從AF邊小孔射出后直接打在A點，則電壓U₀的大小U

qB2L2

32m

．
（2）如果改變金屬板N、M間所加電壓，試判斷粒子從AF邊小孔射出后能否直接打在C點．若不能，說明理由；若能，此時電壓U_NM的大小

169qB2L2

32m

．
（3）如果給金屬板N、M間加一合適的電壓，粒子從AF邊小孔射出后恰好能以最短時間回到該小孔，則最短時間為

5πm

qB

．