Question

17．如圖所示，質量為m的物體，放在一固定斜面上，當斜面傾角為30°時恰能沿斜面勻速下滑．對物體施加一大小為F的水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行．設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，試求：
（1）物體與斜面間的動摩擦因數；
（2）水平推力F的大小
（3）當斜面傾角增大并超過某一臨界角θ₀時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，求這一臨界角θ₀的大小．

Answer 1

分析 物體勻速下滑時受力平衡，按重力、彈力和摩擦力順序進行受力分析，根據共點力平衡條件并結合正交分解法列方程，同時結合摩擦力公式求解動摩擦因素μ；物體沿斜面勻速上升，根據平衡條件列方程，可求得推力F的大小．

解答 解：（1）物體勻速下滑時，受力如下圖所示：
根據平衡條件得：
mgsin30°=f₁
N₁=mgcos30°
又 f₁=μN₁
所以μ=tan30°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（2）物體沿斜面勻速上升，受力如圖所示：
根據平衡條件，沿斜面方向：Fcos30°=mgsin30°+f₂
垂直于斜面方向：N₂=mgcos30°+Fsin30°
又：f₂=μN₂
聯立得：
F=$\frac{mgsin30°+μmgcos30°}{cos30°-μsin30°}$=$\sqrt{3}mg$；
（3）設斜面的傾角為α，根據（2）可知：$F=\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$，
當cosα-μsinα=0時，F→∞，即無論用多大的力都不能使物體沿斜面上滑，可解得臨界角的正切值為：
tanθ₀=tanα=$\frac{1}{μ}=\sqrt{3}$，
解得：θ₀=60°；
答：（1）物體與斜面間的動摩擦因數為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（2）推力F的大小為$\sqrt{3}mg$；
（3）這一臨界角θ₀的大小為60°．

點評 本題是力平衡問題，關鍵是分析物體的受力情況，作出受力的示意圖，要培養良好的作圖習慣，注意結合正交分解法列方程求解．