Question

【題目】如圖所示，傾斜軌道底端用一小段圓弧與水平面平滑連接，上端與半徑為R=0.5 m的圓管形軌道相切于P點，圓管頂端開口水平，距離水平面的高度為R。質量為m=0.2 kg的小球B靜止在斜面的底端。另有質量相同的小球A以初速度v0=5 m/s沿水平面向右運動，并與小球B發生彈性碰撞，不考慮一切摩擦，重力加速度g取10 m/s2。

(1)求小球B被碰后的速度大小；

(2)求小球B到達圓管形軌道最高點時對軌道的壓力大小和方向；

(3)若保持小球A的初速度不變，增加其質量，則小球B從軌道的最高點拋出后，求小球B的落地點到O點的最遠距離不會超過多少。

Answer 1

【答案】(1) 5 m/s (2) 向上的壓力，大小為4 N (3) 不會超過3 m

【解析】

(1)設A、B兩球碰撞后的速度分別為v1、v2，A、B兩球發生彈性碰撞，由動量守恒定律得mv0=mv1＋mv2

由能量守恒定律得

聯立解得v1=0、v2=v0=5 m/s

(2)A、B兩小球碰撞后，設小球B沿軌道上升到最高點的速度為v，則有動能定理得

－mgR=mv2－

在圓管形軌道的最高點，設軌道對小球的支持力為FN，由牛頓第二定律可得mg－FN=m

聯立解得FN=－4 N

負號說明圓管形軌道對小球有向下的壓力，根據牛頓第三定律可得，小球在最高點對軌道有向上的壓力，大小為4 N

(3)設小球A的質量為M，則由動量守恒定律和能量守恒定律有Mv0=Mv3＋mv4

聯立解得v4=v0

當小球A的質量M無限增加時，碰撞后小球B的速度都不會超過2v0

設小球B到達軌道最高點的速度為v′，則有－mgR=mv′2－m(2v0)2

解得v′=3 m/s

由平拋運動的規律有R=gt2，xm=v′t

聯立解得xm=3 m

所以小球B從軌道的最高點拋出后，落地點到O點的最遠距離不會超過3 m