Question

2008年9月我國成功發射“神舟七號”載人航天飛船．如圖為“神舟七號”繞地球飛行時的電視直播畫面，圖中數據顯示，飛船距地面的高度約為地球半徑的

1

20

．已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g，大西洋星距地面的高度約為地球半徑的6倍．設飛船、大西洋星繞地球均做勻速圓周運動．試求：
（1）“神舟七號”飛船在軌運行的線速度為多少？
（2）大西洋星在軌運行的角速度為多少？
（3）若假定“神舟七號”飛船和大西洋星的周期分別為T₁和T₂，某時刻大西洋星、“神舟七號”飛船正好相距最近，再經過多少時間它們剛好又處于最近位置？（結果用T₁，T₂及相關常數表示）

Answer 1

分析：（1）由萬有引力提供向心力可列出線速度表達式，再由黃金代換可得“神舟七號”飛船在軌運行的線速度．
（2）對太平洋星由萬有引力提供向心力可列出角速度表達式，再由黃金代換可得大西洋星在軌運行的角速度．
（3）在相同時間內，“神舟七號”飛船比大西洋星多運動一周，兩者再次同時回到原來相距最近的位置．

解答：解：
（1）設地球質量為M，半徑為R，對“神舟七號”飛船由萬有引力提供向心力可得：
G

Mm

r2

=m

v2

r

，
其中：r=R+

R

20

．
又：GM=gR²，
解得：
v=

20gR 21

．
（2）對太平洋星由萬有引力提供向心力可得：
G

Mm

r2

=mrω 2，
其中：r=7R，
又：GM=gR²，
解得：
ω=

1

7

g 7R

．
（3）因為“神舟七號”飛船比大西洋星運動的快，在相同時間內，“神舟七號”飛船比大西洋星多運動一周，兩者再次同時回到原來相距最近的位置，由此可得：

t

T1

-

t

T2

=n（n=1、2、3…），
解得：
t=

nT1T2

T2-T1

（n=1、2、3…）．
答：（1）“神舟七號”飛船在軌運行的線速度為v=

20gR 21

．
（2）大西洋星在軌運行的角速度為ω=

1

7

g 7R

．
（3）若假定“神舟七號”飛船和大西洋星的周期分別為T₁和T₂，某時刻大西洋星、“神舟七號”飛船正好相距最近，再經過t=

T1T2

T2-T1

（n=1、2、3…）時間它們剛好又處于最近位置．

點評：本題關鍵是第三問，要明確所謂再次相距最近，應該是兩者由都回到原來的位置，這樣在相同時間內，“神舟七號”飛船至少比大西洋星多運動一周（也可能是n周），兩者才能再次相距最近，注意表示的時候，要表達全面．