Question

如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內還有與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m、電荷量q（q>0）和初速度v的帶電微粒。發射時，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區間內。已知重力加速度大小為g。
（1）從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求點場強度和磁感應強度的大小和方向。
（2）請指出這束帶電微粒與x軸相交的區域，并說明理由。
（3）若這束帶電微粒初速度變為2v，那么它們與x軸相交的區域又在哪里？并說明理由。

Answer 1

解：（1）帶電粒子平行于x軸從C點進入磁場，說明帶電微粒所受重力和電場力平衡。設電場強度大小為E，由
，可得，方向沿y軸正方向
帶電微粒進入磁場后，將做圓周運動，且r=R，如圖甲所示，設磁感應強度大小為B。由
，得，方向垂直于紙面向外

（2）這束帶電微粒都通過坐標原點
方法一：從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動，其圓心位于其正下方的Q點，如圖乙所示，這束帶電微粒進入磁場后的圓心軌跡是如圖乙的虛線半圓，此圓的圓心是坐標原點
方法二：從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動。如圖乙所示，高P點與O′點的連線與y軸的夾角為θ，其圓心Q的坐標為（-Rsinθ，Rcosθ），圓周運動軌跡方程為

得x=0，y=0或 x=-Rsinθ，y=R(1+cosθ)
（3）這束帶電微粒與x軸相交的區域是x>0
帶電微粒在磁場中經過一段半徑為r′的圓弧運動后，將在y同的右方（x>0）的區域離開磁場并做勻速直線運動，如圖丙所示。靠近M點發射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向x軸正方向的無窮遠處，靠近N點發射出來的帶電微粒會在靠近原點之處穿出磁場
所以，這束帶電微粒與x軸相交的區域范圍是x>0