Question

如圖所示，在xoy坐標系第一象限內有勻強磁場，磁場區域上邊界剛好與直線y=a重合，磁感應強度為B。一個帶正電的離子在坐標為（a，0）的A點以某一速度進入磁場區域，進入磁場時速度方向與x軸正向夾角為30°，離子質量為m，帶電量為q。不計離子重力。

（1）若離子離開磁場時位置坐標為（a，a ）的C點，求離子運動的速度大小？
（2）當離子進入磁場的速度滿足什么條件時可使離子在磁場區域運動的時間最長？并求出最長時間是多少？

Answer 1

（1）（2）  

試題分析：(1)若離子從y軸離開磁場區域時，其運動軌跡如圖1所示，

由幾何關系得軌跡半徑為
又離子在磁場中
得 
（2）離子在磁場中    得
運動的周期為            聯立得 
若為離子運動軌跡對應的圓心角，則離子在磁場中的運動時間為

則離子在磁場中的運動時間與離子的速度大小無關，與軌跡的圓心角有關。如圖2，

只有當離子從x軸離開磁場（即離子既不從磁場的上邊界離開磁場，也不從y軸離開磁場）時，離子運動軌跡的圓心角最大。由幾何關系，最大圓心角為。
①若離子剛好不能從磁場區域上邊界離開磁場，則軌跡恰好與上邊界相切，如圖3，由幾何關系
得，其軌跡半徑為
②若離子剛好不能從y軸離開磁場，則軌跡與y軸相切，如圖4，由幾何關系R₂+R₂sin30°=a得，其軌跡半徑為R₂=
綜上所述，要使離子從x軸離開磁場，則其軌跡半徑必須滿足R＜R₁，且R＜R₂，即R＜
即要使離子能在磁場中運動時間最長，則離子運動的速度必須滿足

運動的最長時間為t=