Question

如圖所示，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置，與水平面夾角為θ，兩導軌間距為L₀，M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直．整套裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下．導軌和金屬桿的電阻可忽略．讓ab桿沿導軌由靜止開始下滑，導軌和金屬桿接觸良好，不計它們之間的摩擦．
（1）在加速下滑時，當ab桿的速度大小為v時，求此時ab桿中的電流及其加速度的大小；
（2）求在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值．
（3）若現在用沿導軌平面垂直于桿的恒力F將金屬桿從底端無初速推過足夠距離S到達某一位置，立即撤去此恒力．問金屬桿從開始上推到滑回底端的全過程中，在回路里產生的焦耳熱是多少？

Answer 1

分析：（1）根據法拉第定律和歐姆定律結合求出ab桿的感應電流大小，再根據牛頓第二定律和安培力公式求解加速度的大小．
（2）當ab桿勻速運動時，加速度為零，速度達到最大，根據上題加速度表達式求解最大速度．
（3）對于金屬棒運動的全過程，根據能量轉化和守恒定律求解焦耳熱．

解答：解：（1）當ab桿的速度大小為v時，回路中產生的感應電流為 I=

BL0v

R

，由右手定則判斷可知，感應電流的方向從a→b．
ab桿所受的安培力大小為：F=BIL₀=

B2 L 2 0 v

R

，由左手定則得知，安培力方向沿導軌向上．
根據牛頓第二定律得：mgsinθ-F=ma
聯立解得：a=gsinθ-

B2 L 2 0 v

mR

（2）當桿ab的加速度為零時，速度最大，設為v_m．由上題結果得：gsinθ-

B2 L 2 0 vm

mR

=0
解得：v_m=

mgRsinθ

B2 L 2 0

（3）對全過程，根據功能關系得：
  Q=FS-

1

2

mv_m²
則得回路里產生的焦耳熱為：Q=FS-

m3g2R2sin2θ

2B4 L 4 0

   
答：（1）此時ab桿中的電流為

BL0v

R

，加速度的大小為gsinθ-

B2 L 2 0 v

mR

；
（2）在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值為

mgRsinθ

B2 L 2 0

．
（3）金屬桿從開始上推到滑回底端的全過程中，在回路里產生的焦耳熱是FS-

m3g2R2sin2θ

2B4 L 4 0

．

點評：本題的關鍵是會推導安培力的表達式，根據平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒研究電磁感應現象，常規題．