Question

19．如圖所示，一足夠長的木板，上表面與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$μ=\frac{\sqrt{3}}{3}$，重力加速度為g，木板與水平面成θ角，讓小木塊從木板的底端以大小恒定的初速率v₀沿木板向上運(yùn)動(dòng)．隨著θ的改變，小木塊沿木板向上滑行的距離x將發(fā)生變化，當(dāng)θ角為何值時(shí)，小木塊沿木板向上滑行的距離最小，并求出此最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律得出速度的表達(dá)式，然后根據(jù)位移公式得到上滑距離S的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識求S的極值．

解答 解：當(dāng)θ變化時(shí)，則有：mgsinθ+μmgcosθ=ma
木塊的位移S為：v₀²=2as
$s=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}{\;}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$
令：tanα=μ
當(dāng)θ+α=90°時(shí)，S最小，此時(shí)有：θ=60°
故有：S_min=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g（sin60°+μcos60°）}$=$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$
答：當(dāng)θ=60°時(shí)，小物塊沿木板上滑的距離最小，此最小值為$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．

點(diǎn)評 求加速度和位移是物理學(xué)中的常規(guī)問題，關(guān)鍵是由數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識求極值，要重視數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用．