Question

如圖所示，平行光滑導軌MN、PQ相距L，電阻可忽略，其水平部分置于磁感應強度為B的豎直向上的勻強磁場中，導體棒a和b質量均為m，a棒電阻為R，b棒電阻為2R，a、b相距足夠遠，b放在水平導軌上，a從斜軌上高h處自由滑下．求
（1）a棒剛進入磁場時的加速度大小；
（2）a棒從開始下落到作勻速運動的過程所產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）a從斜軌上高h處自由滑下，只有重力做功，由動能定理求出剛進入磁場時的速度大小．由法拉第電磁感應定律E=BLv和閉合電路歐姆定律I=

E

R+2R

結合求出回路中感應電流，由F=BIL求得a棒所受的安培力，再由牛頓第二定律求加速度；
（2）分析兩棒以后的運動情況：a棒在磁場中滑動過程中，a所受安培力向左，做減速運動，b所受安培力向右，做加速運動．兩棒產生的感應電動勢方向相反，電路中電流減小，最后a、b棒以相等的速度做勻速運動．在此過程中，a、b棒所受安培力等大反向，系統合力為零，系統的動量守恒．根據動量守恒定律求出勻速運動時相等的速度，由能量守恒定律求解電路中產生的總熱量，再由焦耳定律分析a棒產生的熱量．

解答：解：（1）對a棒下滑過程，由動能定理：mgh=

1

2

mv2，得 v=

2gh

a棒剛進入磁場時，由法拉第電磁感應定律：E=BLv
由閉合電路歐姆定律：I=

E

R+2R

對a棒，由牛頓第二定律：BIL=ma
聯立解得：a=

B2L2 2gh

3mR

（2）a棒在磁場中滑動過程中，a所受安培力向左，做減速運動，b所受安培力向右，做加速運動．兩棒都產生感應電動勢，而這兩個感應電動勢相反，電路中電流減小，最后a、b棒以相等的速度做勻速運動．在此過程中，a、b棒所受安培力等大反向，系統合力為零，系統的動量守恒，則有：
   mv=2mv₁
由能量守恒有：

1

2

mv2=

1

2

2m

v

2 1

+Q
總熱量為a、b棒產生熱量之和：Q=Q₁+Q₂
由焦耳定律：Q1=I2Rt，Q2=I22Rt
聯立解得：Q1=

mgh

6

答：
（1）a棒剛進入磁場時的加速度大小是

B2L2 2gh

3mR

；
（2）a棒從開始下落到作勻速運動的過程所產生的熱量是

mgh

6

．

點評：本題是雙桿模型，解決本題的關鍵能夠正確受力分析，結合牛頓定律和動量守恒、能量守恒，進行研究．