Question

如圖所示，勁度系數為k=40.0N/m的輕質水平彈簧左端固定在壁上，右端系一質量M=3.0kg的小物塊A，A的右邊系一輕細線，細線繞過輕質光滑的滑輪后與輕掛鉤相連，小物塊A放在足夠長的桌面上，它與桌面的滑動摩擦因數為0.2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．滑輪以左的輕繩處于水平靜止狀態，彈簧的長度為自然長度．現將一質量m=2.0kg的物體B輕掛在鉤上，然后松手，在此后的整個運動過程中，求：
（1）小物塊A速度達到最大時的位置；
（2）彈簧彈性勢能的最大值；
（3）小物塊A克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：A的加速度等于零時，A的速度達到最大，根據牛頓第二定律，求出此時位置；通過比較mg、μMg，判斷出系統向右的運動是以x=x′為平衡位置的簡諧運動，得到A向右運動的距離，利用能量守恒可得彈簧彈性勢能；求出A知道最終靜止下來的路程，根據W=μMgs可求摩擦力所做的總功．

解答：解：（1）對AB系統，mg＞μMg，故A向右運動，
根據牛頓第二定律：mg-μMg-kx=（M+m）a
當a=0時，A的速度達到最大，此時A的坐標x′=

mg-μMg

k

代入數據，解得：x′=0.35m
（2）由于mg、μMg均為恒力，彈力為線性回復力，所以系統向右的運動是以x=x′
為平衡位置的簡諧運動，從A開始向右運動到系統速度為零，A向右運動的距離為：2x′=0.7m
由能量守恒，得：mg×2x′-μMg×2x′=E_彈
代入數據，得：E_彈=9.8J
（3）由于2kx′-mg＞μMg，A開始向左加速運動
根據牛頓第二定律：kx-mg-μMg=（M+m）a
設向左運動A的平衡位置為x₂
kx₂-mg-μMg=0
得：x₂=

mg+μMg

k

解得：x₂=0.65m
當AB兩物體組成的系統向左運動到速度為零的位置，A的坐標為x₃
x₃=x₂-（2x′-x₂）=0.6m
此時kx₃-mg＜μMg，所以A靜止在x₃處，整個過程A的路程為：s=2x₁+2（2x₁-x₂）=0.8m
故克服摩擦力所做的總功為W=μMgs
解得：W=4.8J
答：（1）小物塊A速度達到最大時的位置為0.35m；（2）彈簧彈性勢能的最大值為9.8J；（3）小物塊A克服摩擦力所做的功為4.8J．

點評：解答本題要知道A的加速度等于零時，A速度達到最大，能根據牛頓第二定律以及能量守恒列式解題，A運動過程分析是關鍵，有一定的難度．