Question

12．如圖所示，質量m=3kg、可視為質點的小物塊A沿斜面下滑，經O點以速度v₀水平飛出，落在木板上瞬間，物塊水平速度不變，豎方向速度消失．飛出點O距離地面度h=1.8m，質量M=3kg、長為L=3.6m的木板B靜止在粗糙水平面上，木板高度忽略不計，其左端距飛出點正下方P點距離為s=1.2m．木板與物塊間的動摩擦因數μ₁=0.3，與水平面之間的動摩擦因數的μ₂=0.1，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小物塊水平飛出后經多長時間小物塊落到長木板上；
（2）為了保證小物塊能夠落在木板上，初速度v₀的范圍；
（3）若小物塊水平速度v₀=4m/s，小物塊停止運動時距P點距離是多少．

Answer 1

分析 （1）小物塊水平飛出后做平拋運動，根據高度h求時間．
（2）為了保證小物塊能夠落在木板上，其水平位移應在這個范圍：S≤x≤S+L，根據小物塊水平方向勻速運動的規律求初速度v₀的范圍．
（3）若小物塊水平速度v₀=4m/s，由題求得水平速度大小．之后小物塊向右做勻減速運動，木板向右做勻加速運動，根據牛頓第二定律和速度時間公式求出兩者達到同速的時間和共同速度，之后兩者一起做勻減速運動，由動能定理求出兩者滑行的距離，從而得到小物塊停止運動時距P點距離．

解答 解：（1）小物塊水平飛出后做平拋運動，根據 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.8}{10}}$s=0.6s
（2）為了保證小物塊能夠落在木板上，其水平位移應在這個范圍：S≤x≤S+L，即有 1.2m≤x≤4.8m
根據x=v₀t得：初速度v₀的范圍為 2m/s≤v₀≤8m/s
（3）若小物塊水平速度v₀=4m/s，小物塊落木板上時水平位移為 x=v₀t=4×0.6m=2.4m
落點距木板右端的距離為 s′=s+L-x=1.2+3.6-2.4=2.4m
小物塊落木板上瞬間，豎直分速度消失，物塊水平速度不變，仍為v₀=4m/s．
之后小物塊向右做勻減速運動，木板向右做勻加速運動，設小物塊和木板的加速度大小分別為a₁和a₂．
根據牛頓第二定律得：
對小物塊有：μ₁mg=ma₁；
對木板有：μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂；
代入數據解之得：a₁=3m/s²，a₂=1m/s²．
設經過時間t′兩者速度相同，則有：
 v₀-a₁t′=a₂t′
代入數據解得：t′=1s
共同速度為：v=a₂t′=1×1=1m/s
在t′時間內小物塊的位移為 x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t′$=$\frac{4+1}{2}×1$=2.5m，木板的位移為 x₂=$\frac{v}{2}t′$=$\frac{1}{2}×$1=0.5m
由于x₁-x₂=2m＜s′，所以小物塊沒有滑出木板的右端，達到同速后兩者一起勻減速運動，由動能定理得：
-μ₂（M+m）gx₂=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
代入數據解得：x₃=0.5m
故小物塊停止運動時距P點距離是 S_總=x+x₁+x₃=2.4+2.5+0.5=5.4m
答：（1）小物塊水平飛出后經0.6s時間小物塊落到長木板上；
（2）為了保證小物塊能夠落在木板上，初速度v₀的范圍是2m/s≤v₀≤8m/s；
（3）若小物塊水平速度v₀=4m/s，小物塊停止運動時距P點距離是5.4m．

點評 本題是復雜的力學綜合題，關鍵要理清小物塊與木板的運動情況，運用運動的分解法研究平拋運動．物塊在木板上滑行時，要注意研究共速狀態．