Question

在金屬板A、B間加上如圖乙所示的大小不變、方向周期性變化的交變電壓U_o，其周期是T．現有電子以平行于金屬板的速度v_o從兩板中央射入（如圖甲）．已知電子的質量為m，電荷量為e，不計電子的重力，求：
（1）若電子從t=0時刻射入，在半個周期內恰好能從A板的邊緣飛出，則電子飛出時速度的大�。�
（2）若電子從t=0時刻射入，恰能平行于金屬板飛出，則金屬板至少多長？
（3）若電子恰能從兩板中央平行于板飛出，電子應從哪一時刻射入，兩板間距至少多大？

Answer 1

分析：（1）電子在半個周期內恰好能從A板的邊緣飛出，在此過程中只有電場力做功，根據動能定理即可解除電子飛出時的速度．
（2）若電子從t=0時刻射入，恰能平行于金屬板飛出，說明電子在豎直方向前半周期做勻加速直線運動，后半周期做勻減速直線運動，到電子飛出電場最少用時為T；
（3）若電子恰能從兩板中央平行于板飛出，要滿足兩個條件，第一豎直方向的位移為零，第二豎直方向的速度為零；則電子豎直方向只能先加速到某一速度v_y再減速到零，然后反方向加速度到v_y再減速到零．

解答：解：（1）電子飛出過程中只有電場力做功，根據動能定理得：
e

U0

2

=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
解得：v=

v 2 0 + eU0 m

（2）若電子恰能平行于金屬板飛出，說明電子在豎直方向前半周期做勻加速直線運動，后半周期做勻減速直線運動，到電子飛出電場最少用時為T；則電子水平方向做勻速直線運動：L=v₀T
（3）若電子恰能從兩板中央平行于板飛出，要滿足兩個條件，第一豎直方向的位移為零，第二豎直方向的速度為零；則電子豎直方向只能先加速到某一速度v_y再減速到零，然后反方向加速度到v_y再減速到零．
由于電子穿過電場的時間為T，所以豎直方向每段加速、減速的時間只能為

T

4

，即電子豎直方向只能先加速

T

4

時間到達某一速度v_y再減速

T

4

時間速度減小到零，然后反方向加速

T

4

時間到達某一速度v_y，再減速

T

4

時間速度減小到零，電子回到原高度．
根據以上描述電子可以從t時刻進入：t=

T

4

+

kT

2

（k=0，1，2，3…）
設兩板間距至為d，
而電子加速

T

4

時間的豎直位移為：h=

1

2

eU0

dm

（

T

4

）²
而電子減速

T

4

時間的豎直位移也為：h
所以電子在豎直方向的最大位移為：y=2h=h=

eU0

dm

（

T

4

）² ①
而：y≤

d

2

 ②
由①②解得：d≥=

T

4

2eU0 m

所以d的最小值：d=

T

4

2eU0 m

答：（1）若電子從t=0時刻射入，在半個周期內恰好能從A板的邊緣飛出，則電子飛出時速度的大小為

v 2 0 + eU0 m

．
（2）若電子從t=0時刻射入，恰能平行于金屬板飛出，則金屬板至少v₀T
（3）若電子恰能從兩板中央平行于板飛出，電子應從哪一時刻射入，兩板間距至少

T

4

2eU0 m

點評：帶電粒子進入偏轉電場中運動，水平方向不受力做勻速直線運動，豎直方向初速度為零的勻加速直線運動且具有周期性變化；要用好變化的正確性．