Question

15．我國已經(jīng)進(jìn)入全面的天空活動中，2016年10月19日，神舟十一號載人飛船與天宮二號空間實(shí)驗(yàn)室成功實(shí)現(xiàn)自動交會對接，再次引起人們對月球的關(guān)注．我國發(fā)射的“嫦娥三號”探月衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用時間為t，如圖所示．已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g_月，引力常量為G．試求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球的第一宇宙速度v₁；
（3）“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)月球表面物體重力等于萬有引力求出月球的質(zhì)量M；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求第一宇宙速度；
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力列式，由題意求出周期，聯(lián)列即可求解；

解答 解：（1）表面處引力等于重力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}$
得：$M=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）第一宇宙速度為近地衛(wèi)星運(yùn)行速度，由萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
所以月球第一宇宙速度為：
${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}$
（3）衛(wèi)星做圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}r$，
衛(wèi)星周期為：$T=\frac{t}{n}$
軌道半徑r=R+h，解得：$h=\root{3}{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{4{n}_{\;}^{2}{π}_{\;}^{2}}}-R$
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）月球的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}$為$\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}$；
（3）“嫦娥三號”衛(wèi)星離月球表面高度h為$\root{3}{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{4{n}_{\;}^{2}{π}_{\;}^{2}}}-R$

點(diǎn)評 本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個重要的關(guān)系，要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．