Question

4．滑板運動是一項陸地上的“沖浪運動”，滑板運動員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動作給人以美的享受．如圖所示，abcdef為同一豎直平面上依次平滑連接的滑行軌道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均為斜直軌道，傾角θ=37°，de段是一半徑R=2.5m的四分之一圓弧軌道，O點為圓心，其正上方的d點為圓弧的最高點，滑板及運動員總質量M=60kg，運動員滑經d點時軌道對滑板支持力用N_d表示，忽略摩擦阻力和空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．除下述問（2）中運動員做緩沖動作以外，均可把滑板及運動員視為質點．
（1）運動員從bc段緊靠b處無初速滑下，求N_d的大小；
（2）運動員改為從b點以υ₀=4m/s的速度水平滑出，落在bc上時通過短暫的緩沖動作使他只保留沿斜面方向的速度繼續滑行，則他是否會從d點滑離軌道？請通過計算得出結論．

Answer 1

分析 （1）對下滑過程根據機械能守恒定律以及向心力公式即可求得壓力大小；
（2）運動員離開b點做平拋運動，落在斜面上時，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值等于tanθ，根據這一關系求出運動的時間，從而求出落在斜面上時在豎直方向上的分速度．落在bc上時通過短暫的緩沖動作使他只保留沿斜面方向的速度繼續滑行，對落地點的速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向正交分解，求出沿斜面方向的分速度，即為沿斜面滑行的速度，然后根據動能定理求出d點的速度，與d點的臨界速度進行比較，判斷是否會從d點滑離軌道．

解答 解：（1）從開始滑下至d點，由機械能守恒定律得Mg（H-R）=$\frac{1}{2}$mv²
Mg-N_d=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得N_d=360N
（2）當以v₀=4m/s從b點水平滑出時，運動員做平拋運動落在Q點，如圖所示．設bQ=s₁
s1sin37°=$\frac{1}{2}$gt²④
s1cos37°=v₀t⑤
由④⑤得t=$\frac{2{v}_{0}tan37°}{g}$=$\frac{2×4×\frac{3}{4}}{10}$=0.6s⑥
v_y=gt=10×0.6=6m/s⑦
在Q點緩沖后
v_Q=v_ysin37°+v₀cos37°=6.8m/s⑧
mg（H-$\frac{1}{2}$gt²）-mgR=$\frac{1}{2}$mv_d²-$\frac{1}{2}$mv_Q²⑨
運動員恰好從d點滑離軌道應滿足mg=$\frac{mv{′}^{2}}{R}$⑩
由⑨⑩代入數據解得v'_d²-v_d²=4.76即v'_d＞v_d
可見滑板運動員不會從圓弧最高點d滑離軌道．        
答：（1）運動員從bc段緊靠b處無初速滑下，N_d的大小為360N；
（2）滑板運動員不會從圓弧最高點d滑離軌道．

點評 解決本題的關鍵知道平拋運動落在斜面上，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根據該關系可求出時間．以及在外軌道做圓周運動，最高點有最大速度，此時正壓力為0．