Question

（2007?浙江）如圖所示，質量為m的由絕緣材料制成的球與質量為M=19m的金屬球并排懸掛．現將絕緣球拉至與豎直方向成θ=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點與金屬球發生彈性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場．已知由于磁場的阻尼作用，金屬球將于再次碰撞前停在最低點處．求經過幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°．

Answer 1

分析：先根據機械能守恒定律求出小球返回最低點的速度，然后根據動量守恒定律和機械能守恒定律求出碰撞后小球的速度，對速度表達式分析，求出碰撞n次后的速度表達式，再根據機械能守恒定律求出碰撞n次后反彈的最大角度，結合題意討論即可．

解答：解：設小球m的擺線長度為l
小球m在下落過程中與M相碰之前滿足機械能守恒：mgl(1-cosθ)=

1

2

mv02①
m和M碰撞過程是彈性碰撞，故滿足：
mv₀=MV_M+mv₁ ②

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

MVM2  ③
聯立 ②③得：v1=

m-M

m+M

v0  ④
說明小球被反彈，且v₁與v₀成正比，而后小球又以反彈速度和小球M再次發生彈性碰撞，滿足：
mv₁=MV_M1+mv₂ ⑤

1

2

mv12=

1

2

mv22+

1

2

MVM12⑥
解得：
v2=

m-M

m+M

|v1| ⑦
整理得：
v2=-(

m-M

m+M

)2v0⑧
故可以得到發生n次碰撞后的速度：
vn=|(

m-M

m+M

)nv0|⑨
而偏離方向為45⁰的臨界速度滿足：
mgl(1-cos450)=

1

2

mv臨界2⑩
聯立①⑨⑩代入數據解得，當n=2時，v₂＞v_臨界
當n=3時，v₃＜v_臨界
即發生3次碰撞后小球返回到最高點時與豎直方向的夾角將小于45°．

點評：本題關鍵求出第一次反彈后的速度和反彈后細線與懸掛點的連線與豎直方向的最大角度，然后對結果表達式進行討論，得到第n次反彈后的速度和最大角度，再結合題意求解．