Question

3．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（a，a）在第一象限，點B（0，3），點C（c，0），其中0＜c＜3，∠BAC=90°．
（1）根據題意，畫出示意圖；
（2）若a=2，求OC的長；
（3）已知點D在線段OC上，若OB²-OC²=8S_△CAD，四邊形OBAD的面積為$\frac{45}{8}$，求a²-a的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意畫出圖形即可；
（2）由勾股定理表示出BC²=c²+9，AC²=（2-c）²+4，AB²=1+4=5，根據AB²+AC²=BC²，即5+（2-c）²+4=c²+9，解之可得c的值；
（3）過點A作AE⊥x軸于點E，作AF⊥y軸于點F，OF=OE=AF=AE=a，∠AEC=∠AFB=90°，由△ACE≌△ABF知BF=CE=3-a、OC=2a-3，根據OB²-OC²=8S_△CAD得CD=3-a、OD=OC-CD=3a-6，最后由S_{四邊形OBAD}=S_△OAB+S_△OAD可得關于a的方程，變形可得答案．

解答 解：（1）如圖，


（2）若a=2，則A（2，2），
連接BC，則BC²=c²+9，AC²=（2-c）²+4，AB²=1+4=5，
∵∠BAC=90°，
∴AB²+AC²=BC²，即5+（2-c）²+4=c²+9，
解得：c=1，
即OC=1；

（3）過點A作AE⊥x軸于點E，作AF⊥y軸于點F，
則OF=OE=AF=AE=a，∠AEC=∠AFB=90°，
∵∠CAE+∠ACF=90°，∠BAF+∠CAF=90°，
∴∠CAE=∠BAF，
在△ACE和△ABF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFB}\\{∠CAE=∠BAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴BF=CE=3-a，
∴OC=2a-3，
∵OB²-OC²=8S_△CAD，
∴12a-4a²=8×$\frac{1}{2}$×CD×a，
∴CD=3-a，
∴OD=OC-CD=3a-6，
∵S_{四邊形OBAD}=S_△OAB+S_△OAD，
∴$\frac{45}{8}$=$\frac{3}{2}$a+$\frac{1}{2}$（3a-6）a，
∴a²-a=$\frac{15}{4}$

點評 本題主要考查坐標與圖形的性質，熟練掌握勾股定理、全等三角形的判定與性質及割補法表示多邊形的面積是解題的關鍵．