Question

如圖所示，MN、PQ為水平放置的足夠長的平行光滑導電導軌，間距L為0.5m，導軌左端連接一個2Ω的電阻R，將一根質量為0.2kg的金屬棒cd垂直地放在導軌上，且與導軌接觸良好，金屬棒的電阻r大小為1Ω，導軌的電阻不計，整個裝置放在磁感應強度為1T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向下，現對金屬棒施加一水平向右的拉力F，使棒從靜止開始向右運動．當棒的速度達到3m/s后保持拉力的功率恒為3W，從此時開始計時，即此時t=0，已知從此時直至金屬棒達到穩定速度的過程中電流通過電阻R做的功為2.2J．試解答以下問題：
（1）金屬棒達到的穩定速度是多少？
（2）金屬棒從t=0開始直至達到穩定速度所需的時間是多少？
（3）試估算金屬棒從t=0開始直至達到穩定速度的過程中通過電阻R的電量大約在什么數值范圍內？

Answer 1

分析：（1）當棒的速度達到3m/s后保持拉力的功率恒為3W，此后隨著速度增大，棒所受的拉力減小，合力減小，所以棒做加速度減小的加速運動，當安培力等于拉力的時候，棒做勻速運動，速度達最大，由E=BLv可求得電動勢，由歐姆定律可求得電流，由F=BIL可求得穩定速度；
（2）金屬棒從t=0開始直至達到穩定速度的過程，根據動能定理求出電路中產生的焦耳熱，根據焦耳定律求解時間；
（3）畫出從t=0開始直至達到穩定速度的過程中v-t圖象，圖象的“面積”等于棒的位移S，再根據感應電量表達式q=

△Φ

R+r

=

BlS

R+r

，求解電量的范圍．

解答：解：（1）棒做勻速運動，速度達到最大，此時拉力等于安培力，則有：F=F_安，
而F_安=BL

BLvm

R+r

=

B2L2vm

R+r

F=

P

vm

得

P

vm

=

B2L2vm

R+r

 
解得：v_m=6m/s
（2）金屬棒從t=0開始直至達到穩定速度的過程，設電路中產生的焦耳熱Q_總，
則Q_總=I²（R+r）t，Q_R=I²Rt，
解得，Q_總=

R+r

R

QR=

2+1

2

×2.2J=3.3J，
根據動能定理：
  W_F-Q_總=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

解得 t=2s
（3）通過電阻R的電量q=

△Φ

R+r

=

BlS

R+r

=

1

6

S
畫出的v-t圖象，根據“面積”大小等于位移，得金屬棒位移的最小值和最大值分別為：
  S_min=

1

2

×（3+6）×2m=9m，
  S_max=9m+

1

2

×1.2×3m=10.8m
故解得  1.5C＜q＜1.8C
答：
（1）金屬棒達到的穩定速度是6m/s．
（2）金屬棒從t=0開始直至達到穩定速度所需的時間是2s．
（3）估算金屬棒從t=0開始直至達到穩定速度的過程中通過電阻R的電量大約在1.5C＜q＜1.8C范圍內．

點評：本題關鍵要掌握安培力的表達式F_安=

B2L2vm

R+r

與感應電量的表達式q=

△Φ

R+r

，利用v-t圖象求得位移的大約值是難點．