Question

如圖所示，圓心在O點(diǎn)，半徑為R=0.24m的圓弧形支架abc豎直固定在水平桌面上，支架最低點(diǎn)a與桌面相切，最高點(diǎn)c與O點(diǎn)的連線Oc與Oa夾角為60°．一輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m₁和m₂的小球A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），掛在圓弧邊緣c的兩邊．開(kāi)始時(shí)，A、B均靜止，A的位置與c點(diǎn)等高，不計(jì)一切摩擦，連線和水平桌面足夠長(zhǎng)，g=10m/s²．
（1）為使A能沿圓弧下滑到a點(diǎn)，m₁與m₂之間必須滿(mǎn)足什么關(guān)系？
（2）若m₁=3m₂，求A到達(dá)圓弧最低點(diǎn)a時(shí)，A的速度大小．
（3）若m₁=3m₂，求B能上升的最大高度．

Answer 1

分析：通過(guò)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律，抓住A滑動(dòng)底端時(shí)的速度為零，求出m₁與m₂之間滿(mǎn)足的關(guān)系．根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律，通過(guò)A到達(dá)a點(diǎn)的速度與B的速度關(guān)系，求出A的速度大小．當(dāng)a的速度為零時(shí)，B上升到最大高度，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求出B能上升的最大高度．

解答：解：（1）A、B兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：
m₁gR（1-cos60°）=m₂gR
解得m₁=2m₂．
（2）若m₁=3m₂，設(shè)A滑動(dòng)最低點(diǎn)a時(shí)的速度為v_A，B的速度為v_B．
v_B=v_Acos30°
根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律得，
m₁gR（1-cos60°）-m₂gR=

1

2

m1vA2+

1

2

m2vB2
解得v_A=0.8m/s．
（3）當(dāng)A的速度減為零，B上升的高度最高．
根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律得，
m₁gR（1-cos60°）=m₂gh
解得h=

3R

2

=0.36m．
答：（1）為使A能沿圓弧下滑到a點(diǎn)，m₁與m₂之間必須滿(mǎn)足m₁=2m₂．
（2）A的速度大小為0.8m/s．
（3）B能上升的最大高度為0.36m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，知道A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，A球沿繩子方向上的分速度等于B球的速度．