Question

10．一半徑為R的$\frac{1}{4}$球體放置在水平面上，球體由折射率為$\sqrt{3}$的透明材料制成．現有一束位于過球心O的豎直平面內的光線，平行于桌面射到球體表面上，折射入球體后再從豎直表面射出，如圖所示．已知入射光線與桌面的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，光在真空中的傳播速度為c，求：
（i）出射角θ；
（ii）光穿越球體的時間．

Answer 1

分析 （i）畫出光路圖，作出法線，由幾何知識求出光線射到球體表面的入射角，由折射定律求出折射角．由幾何知識確定出光線在豎直表面上的入射角，即可由折射定律求解出射角θ．
（ii）由v=$\frac{c}{n}$求出光線在球體中的傳播速度，由幾何關系求出光線在球體中的傳播距離，再求解時間．

解答 解：（i）設入射光線與41球體的交點為C，連接OC，OC即為入射點的法線．因此，圖中的角α為入射角．過C點作球體水平表面的垂線，垂足為B，如圖所示．

依題意，∠COB=α
又由△OBC知：sin α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$      
設光線在C點的折射角為β，
由折射定律得 $\frac{sinα}{sinβ}$=n
聯立得 β=30°                
何關系知，光線在球體的豎直表面上的入射角γ如圖所示為 γ=30°
由折射定律得  $\frac{sinθ}{sinγ}$=n
解得 θ=60°．   
（ii）由幾何知識知△ACO為等腰三角形，故2AC•cos 30°=R         
光線在球體內的傳播速度為 v=$\frac{c}{n}$
設光穿越球體的時間為t，則t=$\frac{AC}{v}$
聯立得 t=$\frac{R}{c}$
答：
（i）出射角θ是60°；
（ii）光穿越球體的時間是$\frac{R}{c}$．

點評 本題作光路圖時，要注意當光線從球體入射時，法線就是入射點與球心的連線；當光線射出時，法線與界面垂直，本題兩次使用折射定律解題．