Question

（2013安徽馬鞍山二中期中測試）經(jīng)過天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體組成，其中每個(gè)星體的大小都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來處理（即其它星體對雙星的作用可忽略不計(jì)）．現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定：該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．

（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T₁ .

（2）若實(shí)際中觀測到的運(yùn)動(dòng)周期為T₂， T₂與T₁并不是相同的，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種觀測不到的暗物質(zhì)，它均勻地充滿整個(gè)宇宙，因此對雙星運(yùn)動(dòng)的周期有一定的影響．為了簡化模型，我們假定在如圖14所示的球體內(nèi)（直徑看作L）均勻分布的這種暗物質(zhì)才對雙星有引力的作用，不考慮其他暗物質(zhì)對雙星的影響，已知這種暗物質(zhì)的密度為ρ，求T₁:T₂.

Answer 1

 

（2）由于暗物質(zhì)的存在，雙星的向心力由兩個(gè)力的合力提供，則

                          ④    （2分）

M為暗物質(zhì)質(zhì)量，                 ⑤    （1分）

解④和⑤式得：                      ⑥    （1分）

可求得：                      ⑦    （1分）

聯(lián)立③、⑦式解得：

T₁∶T₂.=∶1                 ⑧  （1分）