Question

常見的激光器有固體激光器和氣體激光器，世界上一些發達國家已經研究出了自由電子激光器，其原理的簡單示意如圖（a）．自由電子（設初速度為零，不計重力）經電場加速后，射入上下排列著許多磁鐵的管中，相鄰的兩塊磁鐵的極性是相反的，在磁場的作用下電子扭動著前進，猶如小蟲在水中游動．電子每扭動一次就會發出一個光子（不計電子發出光子后能量的損失），管兩端的反射鏡使光子來回反射，結果從透光的一端發射出激光．若加速電場電壓U=1.8×10⁴V，電子質量為m=0.91×10^-30kg，電子的電荷量q=1.6×10^-19c，每對磁極間的磁場可看做是均勻的，磁感應強度B=9×10^-4T，每個磁極的左右寬度為a=30cm，垂直于紙面方向的長度為b=60cm，忽略左右磁極間的縫隙，從上向下看兩極間的磁場如圖（b），當電子在磁極的正中間向右垂直于磁場方向射入時，求：
（1）電子進入磁場時的速度v；（2）電子在磁場中運動的軌道半徑R；（3）畫出電子在磁場中運動的軌跡；
（4）電子可通過磁極的個數n；（5）電子在磁場中運動的時間t．

Answer 1

分析：（1）電子被加速，根據動能定理，即可求解；
（2）電子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律，即可求解；
（3）由左手定則確定洛倫茲力方向，再根據受力與運動關系，來畫出運動軌跡；
（4）由幾何關系，求出側移量，從而確定通過磁極的個數；
（5）根據電子在磁場中運動軌跡，求出對應的圓心角，從而得出運動的時間．

解答：解：（1）設電子經電場加速獲得的速度為v，
由動能定理得，qU=

1

2

mv2，
所以v=

2qU m

=

2×1.6×10-19×1.8×104 0.91×10-30

m/s=8×10⁷m/s
（2）由電子在磁場中做圓周運動，設軌道半徑為R，則qvB=m

v2

R

所以R=

mv

qB

=

0.91×10-30×8×107

1.6×10-19×9×10-4

m=0.5m
（3）電子在磁極間的運動軌跡如圖所示（俯視圖），
（4）電子穿過每對磁極的側位移距離均相同，設為△L，
則有△L=R-

R2-a2

=0.1m
通過的磁極個數：n=

b

2△L

=3
（5）由（3）可知，電子在磁場中運動對應的圓心角滿足sinθ=

a

R

，
可解得：θ=37°，故電子在磁場中運動的時間為t=3×

θ

2π

×T=3×

37°

360°

×

2πR

v

=1.21×10^-8s
答：
（1）電子進入磁場時的速度8×10⁷m/s；（2）電子在磁場中運動的軌道半徑0.5m；（3）電子在磁場中運動的軌跡如上圖；
（4）電子可通過磁極的個數3；（5）電子在磁場中運動的時間1.21×10^-8s．

點評：本題考查電子在電場中加速，在磁場中偏轉，并由動能定理、牛頓第二定律及幾何關系來綜合解題，從而培養學生形成一定的套路．