Question

兩根長直軌道與一半徑為R的半圓型圓弧軌道相接于A、C兩點(diǎn)，B點(diǎn)為軌道最低點(diǎn)，O為圓心，軌道各處光滑且固定在豎直平面內(nèi)．質(zhì)量均為m的兩小環(huán)P、Q用長為

2

R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將MN兩環(huán)從距離地面2R處由靜止釋放，整個(gè)過程中輕桿和軌道始終不接觸，重力加速度為g，求：
（1）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí)的速度v；
（2）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢能△E_P；
（3）在運(yùn)動過程中，P環(huán)和Q環(huán)能達(dá)到的最大動能之和．

Answer 1

分析：（1）輕桿下滑過程，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，確定出兩環(huán)下降的高度，即可由求得P環(huán)運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí)的速度v；
（2）根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢能△E_P；
（3）當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心下降到最低處時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到的速度最大，此時(shí)PQ離O點(diǎn)豎直高度為

2

2

，根據(jù)重心下降的高度和系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式求解．

解答：解：（1）根據(jù)兩環(huán)組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：
  2mgR=

1

2

×2m

v

2

解得，v=

2gR

（2）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢能△E_P=mg?2R+mg（R+

2

R）=（3+

2

）mgR．
 （3）當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心下降到最低處時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到的速度最大，P、Q動能之和最大，此時(shí)MN離O點(diǎn)豎直高度為

2

2

R
則根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
有mg（1+

2

2

）R+mg（

2

+1+

2

2

）R=E_k；
得到 P環(huán)和Q環(huán)能達(dá)到的最大動能之和為：E_k=2（

2

+1）mgR．
答：
（1）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí)的速度v是

2gR

；
（2）當(dāng)P環(huán)運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)減少的重力勢能△E_P是（3+

2

）mgR．
（3）在運(yùn)動過程中，P環(huán)和Q環(huán)能達(dá)到的最大動能之和為2（

2

+1）mgR．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系多次得到環(huán)的具體位置，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可．