Question

如圖甲所示，在xOy平面內存在垂直平面的磁場，磁感應強度的變化規律如圖乙所示（規定向里為磁感應強度的正方向），在t=0時刻由原點O發射初速度大小為v₀，方向沿y軸正方向的帶負電粒子（不計重力）．若粒子的比荷大小．試求：

（1）帶電粒子從出發到再次回到原點所用的時間；

（2）帶電粒子從出發到再次回到原點的運動軌跡的長度；

（3）若粒子的比荷變為，同時在y軸方向加勻強電場，其電場強度的變化規律如圖丙所示（沿y軸正方向電場強度為正），要使帶電粒子能夠在運動一段時間后回到原點，則E的取值應為多少？

Answer 1

解：（1）在0—t₀帶電粒子做勻速圓周運動，其周期為        （2分）

則在t₀時間內轉過的圓心角     

在2t₀—3t₀時間內帶電粒子做勻速圓周運動，轉過的圓心角仍為；……．

粒子運動的軌跡如圖1所示，其中O₁、O₂、O₃、O₄分別為0—t₀、2t₀—3t₀、4t₀—5t₀、6t₀—7t₀內做勻速圓周運動的圓心位置，所以粒子從出發到再次回到原點所用的時間為t=8t₀．       （2分）

（2）由于帶電粒子的速率不會改變，所以帶電粒子從出發到再次回到原點的運動軌跡的長度s=8 v₀t₀．    （2分）

（3）由帶電粒子的比荷可知粒子運動的周期 （1分）

則在t₀時間內轉過的圓心角      

粒子在t₀時刻速度方向沿y軸負方向，則在t₀—2t₀時間內帶電粒子受到電場力的作用，沿y軸負方向做勻加速直線運動；在2t₀—3t₀時間內帶電粒子又做勻速圓周運動，轉過的圓心角仍為，由于速度增大，因此，此時運動的軌道半徑大于第一次時的半徑．在3t₀—4t₀時間內，帶電粒子在電場力的作用，沿y軸正方向做勻減速直線運動，由對稱性可知，在4t₀時速度又變為v₀；在4t₀—5t₀時間內又做圓周運動，其運動情況與0—t₀時間內的相同；……．做出帶電粒子的運動軌跡如圖2所示，其中O₁、O₂、O₃、分別為粒子在0—t₀、2t₀—3t₀、4t₀—5t₀內做勻速圓周運動的圓心位置．設帶電粒子在x軸上方做圓周運動的軌道半徑為r₁，在x軸下方做圓周運動的軌道半徑為r₂，由幾何關系可知，要使帶電粒子回到原點，則必須滿足：

  （n=1，2，3，…）（1分）

               解得：（1分）

又由于   （1分）

解得： （n=1，2，3，…）（1分）