Question

17．根據電磁學有關知識，在某一空間放一電荷量為Q的點電荷，設無窮遠處電勢為零，則距離點電荷為r的某點的電勢公式為φ=k$\frac{Q}{r}$，其中k為靜電力常量．
（1）如圖甲所示，在圓心處有一電荷量為+Q的點電荷，其等差等勢面上a、b、c三點所在的圓半徑分別為r_a、r_b、r_c．試用題中公式證明：r越大，點電荷的等勢面越稀，即r_c-r_b＞r_b-r_a．
（2）如圖乙中虛線所示是電荷量分別為+Q和-Q的等勢面，試用題中公式證明：中垂線上任意一點P的電勢為零．
（3）若將兩個點電荷構成如圖丙所示的電偶極子模型（指電荷量為q、相距為l的一對正負點電荷組成的電結構），點電荷q₀沿以電偶極子為中心、半徑為R的半圓弧從A移動到B，試求q₀受到的電場力所做的功為多大？

Answer 1

分析 （1）根據點電荷電勢公式φ=k$\frac{Q}{r}$以及φ_b-φ_a=φ_c-φ_b列式后分析求解；
（2）分別假設正負電荷單獨存在，求出P點的電勢，然后相加即可；
（3）先求解出A與B兩點的電勢，然后根據W_AB=qU_AB列式求解．

解答 解：（1）根據題意，a、b、c三點的電勢分別為：φ_a=$\frac{kQ}{r_a}$，φ_b=$\frac{kQ}{r_b}$，φ_c=$\frac{kQ}{r_c}$，
因為 φ_b-φ_a=φ_c-φ_b
所以$\frac{kQ}{r_b}-\frac{kQ}{r_a}=\frac{kQ}{r_c}-\frac{kQ}{r_b}$
即$\frac{{{r_b}-{r_a}}}{{{r_b}{r_a}}}$=$\frac{{{r_c}-{r_b}}}{{{r_c}{r_b}}}$，$\frac{{{r_b}-{r_a}}}{{{r_c}-{r_a}}}=\frac{r_a}{r_c}$，
由于r_c＞r_a，所以有r_c-r_b＞r_b-r_a
即離點電荷越遠的地方，等差等勢面應畫的越稀；
（2）設兩個電荷到P點的距離均為r，則：
φ_p=$\frac{kQ}{r}$+$\frac{k（-Q）}{r}$=0；
（3）電偶極子在A、B兩點的電勢為：
φ_A=$\frac{kq}{{R-\frac{l}{2}}}$+$\frac{k（-q）}{{R+\frac{l}{2}}}$，
φ_B=$\frac{kq}{{R+\frac{l}{2}}}$+$\frac{k（-q）}{{R-\frac{l}{2}}}$，
A、B兩點的電勢差為：U_AB=φ_A-φ_B=$\frac{2kql}{{{R^2}-\frac{l^2}{4}}}$，
電場力做功為：W=qU_AB=$\frac{{2k{q_0}ql}}{{{R^2}-\frac{l^2}{4}}}$；
答：（1）證明如上；
（2）證明如上；
（3）q₀受到的電場力所做的功為$\frac{{2k{q_0}ql}}{{{R^2}-\frac{l^2}{4}}}$．

點評 本題關鍵根據題意，得到單個點電荷和一對點電荷的空間任意一點的電勢表達式，然后根據據W_AB=qU_AB列式求解．