Question

4．如圖傾角為θ的光滑斜面與粗糙的水平面相連，在Q點正上方R處的O點有垂直于紙面的水平軸，長為R的輕桿可繞軸在豎直面內無摩擦的轉動，桿的下端固定一質量為m的小球B，B與地面剛好無壓力．質量也為m的小滑塊A從斜面上高為H=1.6m的位置自由滑下，在P點滑塊的速度大小不受影響，到Q點后與B發生碰撞（已知A、B間的碰撞為水平方向的彈性碰撞）．已知A與水平面的摩擦因數為μ=0.25，P、Q間的距離為S=1.0m．
求：（1）A與B剛碰撞前的瞬間A的速度的大小．
（2）求滑塊A最終所停位置距離Q多遠．

Answer 1

分析 （1）A到達Q的過程中，重力和阻力對A做功，由功能關系即可求出A的速度；
（2）分析B過最高點的條件，然后根據機械能守恒，得出B在最低點的速度的特點，最后結合彈性碰撞的特點以及功能關系即可求出．

解答 解：（1）A到達Q的過程中，重力和阻力對A做功，得：$mgH-μmgS=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=3\sqrt{3}$m/s
（2）由于B與A的質量相等，A與B碰撞的過程是彈性碰撞，根據彈性碰撞的特點可知，質量相等的兩個物體在碰撞后交換速度，所以碰撞后A的速度變成0，而B的速度變成3$\sqrt{3}$m/s．
若B能恰好經過最高點，則在最高點的速度恰好為0，根據機械能守恒得最低點的速度滿足：
-mg•2R=$0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數據得：R=0.675 m
討論：
Ⅰ、若桿的長度小于0.675m，則小球B能越過最高點，繼續沿逆時針方向轉到B，然后與A發生彈性碰撞，再次交換速度．之后A繼續以速度3$\sqrt{3}$m/s向右運動到停止，由動能定理得：$-μmgx=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以x=5.4m
Ⅱ、若桿的長度大于0.675m，則小球B不能越過最高點，則將沿順時針方向返回到B，然后與A發生彈性碰撞，再次交換速度．之后A繼續以速度3$\sqrt{3}$m/s向左運動到停止，由動能定理得：$-μmgx=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
由于：x＞S，所以A將回到P點，然后沿斜面向上運動，到達最高點后再次返回P點，再向右運動直到與Q發生第三次的碰撞．由于A再次在水平面上運動的過程中摩擦力繼續做功，可知B仍然不能到達最高點，仍然是再沿順時針方向返回…
由此可知，A將在PQ之間以及斜面上做往返運動，一直到停止上，運動的總路程為5.4m．
由：5.4m=1m×5+0.4m
可知A將在從P向Q運動的過程中停止，此時距離Q點的路程為：L=1m-0.4m=0.6m
答：（1）A與B剛碰撞前的瞬間A的速度的大小是$3\sqrt{3}$m/s；
（2）當R＞0.675m時，A將停在Q的左側距Q 0.6米處；當R≤0.675m時，A將停在Q的右側距Q 5.4米處．

點評 該題結合彈性碰撞的情況，考查對功能關系的應用能力，在解答的過程中要注意B做圓周運動的過程中可能能通過最高點，有可能不會通過最高點，要討論，不能遺漏．