Question

如圖所示，兩平行的光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導軌間距為L，電阻忽略不計且足夠長，導軌平面的傾角為α，斜面上相隔為d的平行虛線MN與PQ間有磁感應強度大小為B的勻強磁場，方向與導軌平面垂直．另有一長為2d的絕緣桿將一導體棒和一邊長為d（d＜L）的正方形單匝線框連在一起組成一固定的裝置，總質量為m，導體棒中通以大小恒為I的電流．將整個裝置置于導軌上，線框下邊與PQ重合．釋放后裝置沿斜面開始下滑，當導體棒運動到MN處恰好第一次開始返回，經過若干次往返后，最終整個裝置在斜面上作恒定周期的往復運動．導體棒在整個運動過程中始終與導軌垂直．求：
（1）在裝置第一次下滑的過程中，線框中產生的熱量Q；
（2）畫出整個裝置在第一次下滑過程中的速度-時間（v-t）圖象；
（3）裝置最終在斜面上做往復運動的最大速率v_m；
（4）裝置最終在斜面上做往復運動的周期T．

Answer 1

分析：（1）線框克服安培力做功等于整個回路產生的熱量，根據動能定理求出導體棒從靜止開始運動到MN處線框克服安培力做的功，從而求出線框產生的熱量．
（2）在線框進入磁場和離開磁場的過程中，做變加速直線運動，線框離開磁場做勻加速直線運動，當導體棒進入磁場做勻減速直線運動到速度為零．
（3）線框最終做往復運動，最高點時上邊位于MN處，因為導體棒向下進入磁場做勻減速直線運動，向上進入磁場做勻加速直線運動，知速度最大的位置導體棒位于PQ處．根據動能定理求出最大的速度．
（4）在做周期性運動的過程中，先向下做勻加速直線運動，然后向下做勻減速直線運動，結合牛頓第二定律和運動學公式求出周期的大小．

解答：解：（1）設裝置由靜止釋放到導體棒運動到磁場下邊界的過程中，安培力對線框做功的大小為W，mgsinα?4d-W-BIL?d=0
解得W=4mgdsinα-BILd
線框中產生的熱量Q=W=4mgdsinα-BILd    
（2）第一段，初速度為零、加速度減小的加速運動；第二段勻加速運動；第三段，勻減速運動至速度為零．
（3）裝置往復運動的最高位置：線框的上邊位于MN處；速度最大的位置：導體棒位于PQ處．
由mgsinα?d=

1

2

mv_m²解得v_m=

2gdsinα

 
（4）向下加速過程ma₁=mgsinα  t₁=

vm-0

a1

=

2gdsinα

gsinα

向下減速過程ma₂=BIL-mgsinα  t₂=

vm-0

a2

=

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

T=2（t₁+t₂）=2（

2gdsinα

gsinα

+

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

）．
答：（1）在裝置第一次下滑的過程中，線框中產生的熱量Q=4mgdsinα-BILd．
（2）如圖所示．
（3）裝置最終在斜面上做往復運動的最大速率為

2gdsinα

．
（4）裝置最終在斜面上做往復運動的周期T為2（

2gdsinα

gsinα

+

m 2gdsinα

BIL-mgsinα

）．

點評：本題考查了電磁感應與力學和能量的綜合，綜合性較強，對學生的能力要求較高，是高考的熱點問題，在平時的學習中要加強訓練．