Question

（2011?河北模擬）如圖甲所示，CDE是固定在絕緣水平面上的光滑金屬導(dǎo)軌，CD=DE=L，∠CDE=60°，CD和DE單位長度的電阻均為r₀，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強度為B、豎直向下的勻強磁場中．MN是絕緣水平面上的一根金屬桿，其長度大于L，電阻可忽略不計．現(xiàn)MN在向右的水平拉力作用下以速度v₀在CDE上勻速滑行．MN在滑行的過程中始終與CDE接觸良好，并且與C、E所確定的直線平行．

（1）求MN滑行到C、E兩點時，C、D兩點電勢差的大小；
（2）推導(dǎo)MN在CDE上滑動過程中，回路中的感應(yīng)電動勢E與時間t的關(guān)系表達式；
（3）在運動學(xué)中我們學(xué)過：通過物體運動速度和時間的關(guān)系圖線（v-t圖）可以求出物體運動的位移x，如圖乙中物體在0～t₀時間內(nèi)的位移在數(shù)值上等于梯形Ov₀Pt₀的面積．通過類比我們可以知道：如果畫出力與位移的關(guān)系圖線（F-x圖）也可以通過圖線求出力對物體所做的功．
  請你推導(dǎo)MN在CDE上滑動過程中，MN所受安培力F_安與MN的位移x的關(guān)系表達式，并用F_安與x的關(guān)系圖線求出MN在CDE上整個滑行的過程中，MN和CDE構(gòu)成的回路所產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：MN切割磁感線，運用法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢．
應(yīng)用閉合電路歐姆定律求出C、D兩點電勢差的大小．
設(shè)MN運動時間為t，滑出位置圖象，根據(jù)幾何關(guān)系求出回路的長度和電阻．
從安培力的表達式出發(fā)求出安培力與位移的關(guān)系，通過關(guān)系表達式畫出F-x圖，從而求出功．
根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律求出回路所產(chǎn)生的焦耳熱．

解答：解：（1）MN滑行到C、E兩點時，在回路中的長度等于L
此時回路中的感應(yīng)電動勢E=BLv₀
由于MN的電阻忽略不計，CD和DE的電阻相等
所以C、D兩點電勢差的大小U=

1

2

E=

1

2

BLv₀
（2）設(shè)經(jīng)過時間t運動到如圖所示位置，

此時桿在回路中的長度l=2v₀ttan30°=

2 3

3

v₀t    
電動勢E=Blv₀=

2 3

3

Bv₀²t  
（3）在第（2）題圖示位置時，回路中的電阻R=

4 3

3

r₀v₀t    
回路中的電流I=

Bv0

2r0

  
即回路中的電流為一常量．
此時安培力的大小F_安=BIL=

3 B2v02

3r0

t     
由于MN在CDE上滑動時的位移x=v₀t
所以F_安=

3 B2v0

3r0

x     
所以安培力的大小隨位移變化的圖線（F_安-x圖）如圖所示，

所以MN在CDE上的整個滑行過程中，安培力所做的功W_安=

3 B2L2v0

8r0

    
根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律
回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q等于安培力所做的功，即Q=

3 B2L2v0

8r0

     
答：（1）MN滑行到C、E兩點時，C、D兩點電勢差的大小為

2 3

3

Bv₀²t；
（2）推導(dǎo)MN在CDE上滑動過程中，回路中的感應(yīng)電動勢E與時間t的關(guān)系表達式為E=

2 3

3

Bv₀²t  
（3）MN所受安培力F_安與MN的位移x的關(guān)系表達式F_安=

3 B2v0

3r0

x，MN和CDE構(gòu)成的回路所產(chǎn)生的焦耳熱為

3 B2L2v0

8r0

點評：關(guān)于回路中電阻要看清題目，有的導(dǎo)軌計電阻，有的不計．
根據(jù)物理規(guī)律求出物理量之間的關(guān)系，從而畫出圖象．