Question

一輕彈簧直立在地面上，其勁度系數為k=400 N/m，彈簧的上端與盒子A連接在一起，盒子內裝物體B，B的上下表面恰好與盒子接觸，A和B的質量m_A=m_B=1 kg，g=10 m/s²，不計阻力，先將A向上抬高使彈簧伸長5 cm后從靜止釋放，A和B一起做上下方向的簡諧運動，已知彈簧的彈性勢能決定于彈簧的形變大小.試求：

（1）A的振幅；

（2）B的最大速率；

（3）在最高點和最低點A和B的作用力.

Answer 1

（1）A=10 cm  （2）v=2 m/s  （3）a=20 m/s²

解析:

（1）設A和B做簡諧運動的平衡位置為0，彈簧的壓縮量為x₀，由平衡條件kx₀=（m_A+m_B）g，得x₀=5cm，故A的振幅為A=10 cm.

（2）當B運動到平衡位置時速率最大，A和B由靜止釋放到平衡位置過程中，彈簧的伸長量與壓縮量相等，彈性勢能不變，由動能定理：

（m_A+m_B）gA=（m_A+m_B）v²，得v= m/s.

（3）設A、B一齊運動的最大加速度大小（最高點和最低點）為a，由牛頓第二定律（m_A+m_B）g+kx₁=（m_A+m_B）a，得a=20 m/s².

取B為研究對象，在最高點時有m_Bg+F₁= m_Ba，得A對B的作用力F₁=10 N，方向向下；在最低點時有F₂-m_Bg= m_Ba，得A對B的作用力F₂=30 N，方向向上.