Question

17．一塊足夠長(zhǎng)的木板C質(zhì)量2m，放在光滑的水平面上，如圖所示．在木板上自左向右放有A、B兩個(gè)完全相同的物塊，兩物塊質(zhì)量均為m，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ．開(kāi)始時(shí)木板靜止不動(dòng)，A、B兩物塊的初速度分別為v₀、2v₀，方向如圖所示．試求：（1）木板能獲的最大速度；
（2）A物塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小速度；
（3）全過(guò)程AC間的摩擦生熱跟BC間的摩擦生熱之比是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)三者速度相同時(shí)，木板的速度最大，對(duì)A、B和木板系統(tǒng)研究，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律求出木板獲得的最大速度．
（2）A先向右做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、C速度相同時(shí)，A的速度最小，然后A與木板一起加速直到三者速度相同，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A物塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小速度．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出AC間的相對(duì)位移，以及BC間的相對(duì)位移，再由Q=f△x求解AC間摩擦生熱．由能量守恒定律求出整個(gè)過(guò)程系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量，即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)A、B和木板速度相同時(shí)，木板的速度最大，取向右為正方向，對(duì)三者組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒定律得，
mv₀+m•2v₀=（m+m+2m）v′
得：v′=$\frac{3}{4}$v₀．
（2）開(kāi)始時(shí)，A、B做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：a=$\frac{μmg}{m}$=μg
A、B都滑動(dòng)時(shí)，木板C的加速度為：a′=$\frac{μmg+μmg}{2m}$=μg．
因?yàn)锳的初速度小，A與木板C先達(dá)到共同速度，當(dāng)A與木板達(dá)到共同速度后，以后再與木板一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可知，A與木板速度相同時(shí)，速度最小．
則有：v=v₀-at=a′t
解得：t=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$
則A物塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小速度為：v_min=v₀-at=v₀-μg•$\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{{v}_{0}}{2}$．
（3）由上知：A、C剛共速時(shí)速度為：v=$\frac{{v}_{0}}{2}$．
A、C間的相對(duì)位移大小為：△x=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$-$\frac{v}{2}t$=$\frac{{v}_{0}}{2}t$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$
AC間的摩擦生熱為：Q_AC=μmg△x=$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$
全過(guò)程系統(tǒng)摩擦生熱等于系統(tǒng)動(dòng)能減小，為：Q=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$m•2v₀²-$\frac{1}{2}$（m+m+2m）v′²
聯(lián)立解得：Q=$\frac{11}{8}m{v}_{0}^{2}$
BC間的摩擦生熱為：Q_BC=Q-Q_AC=$\frac{9}{8}m{v}_{0}^{2}$
所以全過(guò)程AC間的摩擦生熱跟BC間的摩擦生熱之比是 Q_AC：Q_BC=2：9
答：（1）木板能獲的最大速度是$\frac{3}{4}$v₀；
（2）A物塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小速度是$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（3）全過(guò)程AC間的摩擦生熱跟BC間的摩擦生熱之比是2：9．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道三個(gè)物體在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，知道三者速度相同時(shí)，木板的速度最大，A與木板速度相同時(shí)，A的速度最小．