Question

13．如圖所示，一根勻質繩質量為m，其兩端固定在天花板上的A、B兩點，在繩的中點懸掛一重物，質量為M，懸掛重物的繩PQ質量不計．設α、β分別為繩子端點和中點處繩子的切線方向與豎直方向的夾角，則$\frac{tanα}{tanβ}$的大小為（　　）

• A． $\frac{M}{M+m}$
• B． $\frac{m}{m+M}$
• C． $\frac{M}{2（M+m）}$
• D． $\frac{m}{2（M+m）}$

Answer 1

分析 以整體為研究對象，根據平衡條件分析端點處對繩子的拉力與總重力的關系式；對左半邊繩子研究，得到端點和中點繩子的拉力的關系式；再采用比例法求解．

解答 解：設懸點A、B處對繩的拉力為F₁，取繩M和m為一整體，受力分析如圖（甲）所示．

由平衡條件得：2F₁cos α=（M+m）g．
設繩在P點的張力大小為F₂，對P點受力分析如圖（乙）所示．
由平衡條件得：2F₂cos β=Mg．
再以AP段繩為研究對象，受力分析如圖（丙）所示．
由水平方向合力為零可得：
  F₁sin α=F₂sin β
由以上三式聯立可得：$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{M}{M+m}$．
故選：A

點評 本題是力平衡問題，采用隔離法和整體法研究，如何選擇研究對象和如何運用數學知識變形是關鍵．